この項目では、特殊函数について説明しています。確率の乗法定理については「確率の積の法則」をご覧ください。
数学 におけるガンマ函数 関連の特殊函数 の乗法定理 （じょうほうていり、英 : multiplication theorem
有限標数の場合 この乗法定理は大きく二つに分けられ、そのひとつは有限項の和または積によって関係式が与えられる。いまひとつは、無限項の和または積に関するものである。この有限型の関係式は、典型的にはガンマ函数とその関連の函数に対してのみ生じる、有限体 上の p -進虚数乗法 論からくるチョウラ–セルバーグの公式 から従う。無限型の関係式はもっと広く知られる超幾何級数 に関する標数 零の関係式から生じる。
以下、正標数の場合の乗法公式を挙げ、さらにその下に標数 0 の場合を挙げる。また、以下では n, k は非負整数とする。n = 2倍元公式 あるいは倍数公式 (duplication formula ) とも呼ばれる。
ガンマ函数・ルジャンドル函数 倍数公式および乗法定理はガンマ函数 に対するものが原型的な例である。ガンマ函数の倍数公式は
Γ
(
z
)
⋅
Γ
(
z
+
1
2
)
=
2
1
−
2
z
π
Γ
(
2
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)\cdot \Gamma \!\!\left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)}
で与えられ、
アドリアン゠マリ・ルジャンドル に因んで
ルジャンドル倍数公式 [1] や
ルジャンドル関係式 と呼ばれる。一般の乗法定理は、自然数
k ≥ 1 に対して
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
k
)
Γ
(
z
+
2
k
)
⋯
Γ
(
z
+
k
−
1
k
)
=
(
2
π
)
k
−
1
2
k
1
/
2
−
k
z
Γ
(
k
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)\,\Gamma \!\!\left(z+{\frac {1}{k}}\right)\Gamma \!\!\left(z+{\frac {2}{k}}\right)\dotsb \Gamma \!\!\left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{\frac {k-1}{2}}k^{1/2-kz}\Gamma (kz)}
で与えられ、
カール・フリードリヒ・ガウス に因んで
ガウスの乗法公式 と呼ばれる。ガンマ函数に対するこの乗法定理は、
チョウラ–セルバーグの公式 の自明指標に対する特別の場合として理解することができる。
ポリガンマ函数・調和数 ポリガンマ函数 はガンマ函数の対数微分 であり、したがって乗法定理も乗法的でなく加法的に書かれることになる。
m > 1
k
m
ψ
(
m
−
1
)
(
k
z
)
=
∑
n
=
0
k
−
1
ψ
(
m
−
1
)
(
z
+
n
/
k
)
{\displaystyle k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}(z+n/k)}
および
m = 1 のとき、つまり
ディガンマ函数 に対して
k
[
ψ
(
k
z
)
−
log
(
k
)
]
=
∑
n
=
0
k
−
1
ψ
(
z
+
n
/
k
)
{\displaystyle k[\psi (kz)-\log(k)]=\sum _{n=0}^{k-1}\psi (z+n/k)}
で与えられる。
このポリガンマの等式は調和数 の乗法定理を得るのに用いることができる。
フルヴィッツゼータ函数 フルヴィッツゼータ函数 はポリガンマ函数を非整数階に一般化するものであるから、したがってポリガンマと同様の乗法定理
k
s
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
k
ζ
(
s
,
n
/
k
)
{\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta (s,n/k)}
を満足する（
ζ (s ) は
リーマンゼータ函数 ）。これは
k
s
ζ
(
s
,
k
z
)
=
∑
n
=
0
k
−
1
ζ
(
s
,
z
+
n
/
k
)
{\displaystyle k^{s}\zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\zeta (s,z+n/k)}
および
ζ
(
s
,
k
z
)
=
∑
n
=
0
∞
(
s
+
n
−
1
n
)
(
1
−
k
)
n
z
n
ζ
(
s
+
n
,
z
)
{\displaystyle \zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{\infty }{s+n-1 \choose n}(1-k)^{n}z^{n}\zeta (s+n,z)}
の特別の場合になっている。
非主指標に対する乗法公式はディリクレL函数 の形で与えることができる。
周期ゼータ函数 周期ゼータ函数 (periodic zeta function [2]
F
(
s
;
q
)
=
∑
m
=
1
∞
e
2
π
i
m
q
m
s
=
Li
s
(
e
2
π
i
q
)
{\displaystyle F(s;q)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {e^{2\pi imq}}{m^{s}}}=\operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi iq})}
と定義される。ここに
Lis z ) は
ポリ対数函数 である。倍数公式は
2
−
s
F
(
s
;
q
)
=
F
(
s
,
q
2
)
+
F
(
s
,
q
+
1
2
)
{\displaystyle 2^{-s}F(s;q)=F\!\!\left(s,{\frac {q}{2}}\right)+F\!\!\left(s,{\frac {q+1}{2}}\right)}
で与えられる。要するにこれはベルヌイ作用素の固有値
2−s に属する固有ベクトルである。乗法定理は
k
−
s
F
(
s
;
k
q
)
=
∑
n
=
0
k
−
1
F
(
s
,
q
+
n
/
k
)
{\displaystyle k^{-s}F(s;kq)=\sum _{n=0}^{k-1}F(s,q+n/k)}
と書ける。
周期ゼータ函数はフルヴィッツゼータ函数の反射公式において生じ、そのような理由から、この函数が従う関係式とフルビッツゼータの関係式は s → −s
ベルヌイ多項式 は周期ゼータ函数の s を整数に近づける極限として得られるから、ベルヌイ多項式の乗法定理も上記の関係式から導くことができる。同様に q = log z
ポリ対数函数 ポリ対数函数の倍数公式は
2
1
−
s
Li
s
(
z
2
)
=
Li
s
(
z
)
+
Li
s
(
−
z
)
{\displaystyle 2^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{2})=\operatorname {Li} _{s}(z)+\operatorname {Li} _{s}(-z)}
の形になる。一般の乗法公式は
ガウス和 あるいは
離散フーリエ変換 の形で
k
1
−
s
Li
s
(
z
k
)
=
∑
n
=
0
k
−
1
Li
s
(
z
e
i
2
π
n
/
k
)
{\displaystyle k^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{k})=\sum _{n=0}^{k-1}\operatorname {Li} _{s}(ze^{i2\pi n/k})}
と与えられる。
これらの等式は周期ゼータ函数に対する等式から z = log q
クンマーの函数 クンマーの函数（英語版 ） の倍数公式は
2
1
−
n
Λ
n
(
−
z
2
)
=
Λ
n
(
z
)
+
Λ
n
(
−
z
)
{\displaystyle 2^{1-n}\Lambda _{n}(-z^{2})=\Lambda _{n}(z)+\Lambda _{n}(-z)}
である。これはポリ対数函数に対するものとよく似ているが、
i だけひねられている。
ベルヌイ多項式 ベルヌイ多項式 に対する乗法定理はヨーゼフ・ルートヴィヒ・ラーベ が1851年に与えた。
k
1
−
m
B
m
(
k
x
)
=
∑
n
=
0
k
−
1
B
m
(
x
+
n
/
k
)
{\displaystyle k^{1-m}B_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{k-1}B_{m}(x+n/k)}
および、
オイラー多項式 に対して
k
−
m
E
m
(
k
x
)
=
∑
n
=
0
k
−
1
(
−
1
)
n
E
m
(
x
+
n
/
k
)
(
k
=
1
,
3
,
…
)
{\displaystyle k^{-m}E_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}E_{m}(x+n/k)\quad (k=1,3,\dotsc )}
または
k
−
m
E
m
(
k
x
)
=
−
2
m
+
1
∑
n
=
0
k
−
1
(
−
1
)
n
B
m
+
1
(
x
+
n
/
k
)
(
k
=
2
,
4
,
…
)
{\displaystyle k^{-m}E_{m}(kx)={\frac {-2}{m+1}}\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}B_{m+1}(x+n/k)\quad (k=2,4,\dotsc )}
となる。
ベルヌイ多項式はフルヴィッツゼータ函数の特別の場合として得られるから、これら等式もそれに関する等式から従う。
ベルヌイ写像 ベルヌイ写像は、コイントスの無限鎖（カントール集合 ）上のシフト作用素 の効果を記述する、散逸 力学系 のある種単純なモデルである。ベルヌイ写像はパイこね変換 に近い関連のある片側版である。ベルヌイ写像を k 個の記号の無限鎖上に作用する k -進版に一般化したものをベルヌイスキーム（英語版 ） と言う。ベルヌイスキーム上のシフト作用素に対応する転送作用素
L
k
{\textstyle {\mathcal {L}}_{k}}
[
L
k
f
]
(
x
)
=
1
k
∑
n
=
0
k
−
1
f
(
(
x
+
n
)
/
k
)
{\displaystyle [{\mathcal {L}}_{k}f](x)={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}f((x+n)/k)}
で定義される。
ある意味当然のこととして、この作用素の固有ベクトルはベルヌイ多項式で与えられる。式で書けば
L
k
B
m
=
1
k
m
B
m
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{k}B_{m}={\frac {1}{k^{m}}}B_{m}}
である。固有値
k −m < 1 であることが、これが散逸系であるという事実を示している。非散逸
測度保存力学系 に対しては転送作用素の固有値は単位円上にある。
任意の完全乗法的函数（英語版 ） からこの乗法定理を満足する函数を構成することができる。f (n )m, n に対して f (mn ) = f (m )f (n )
g
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
exp
(
2
π
i
n
x
)
{\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\exp(2\pi inx)}
と定める。右辺の和は収束するものと仮定すれば
g (x ) は存在し、それ乗法定理
1
k
∑
n
=
0
k
−
1
g
(
(
x
+
n
)
/
k
)
=
f
(
k
)
g
(
x
)
{\displaystyle {\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}g((x+n)/k)=f(k)g(x)}
に従う。つまり、
g (x ) はベルヌイ転送作用素の固有値
f (k ) に属する固有函数である。ベルヌイ多項式に対する乗法定理は、乗法的函数を
f
(
n
)
=
n
−
s
{\displaystyle f(n)=n^{-s}}
と取ったときの特別の場合である。
標数零の場合 標数 0 無限級数 で表されることが必要となる。例えば、ベッセル函数
J
ν
(
z
)
{\textstyle J_{\nu }(z)}
λ
−
ν
J
ν
(
λ
z
)
=
∑
n
=
0
∞
1
n
!
(
(
1
−
λ
2
)
z
2
)
n
J
ν
+
n
(
z
)
{\displaystyle \lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {(1-\lambda ^{2})z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z)}
と書ける。ここに
λ, ν は勝手な複素数にとれる。
このような標数 0 の等式は、一般には超幾何級数の満足する無数の恒等式の一つから得られる。
注
^ Weisstein, Eric W "Legendre Duplication Formula " . MathWorld （英語） ^ Apostol, Introduction to analytic number theory , Springer
参考文献 関連項目 外部リンク 
![{\displaystyle k[\psi (kz)-\log(k)]=\sum _{n=0}^{k-1}\psi (z+n/k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25892848c25dfc8bf8961063dd0a333b0cee32c3)
={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}f((x+n)/k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/101a028fa717de5cfb4d04ec5ed1fff9b4e6b76b)
