cn それぞれを、y についての関数とみなして、それぞれフーリエ級数展開する
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/04 15:43 UTC 版)
「平面波」の記事における「cn それぞれを、y についての関数とみなして、それぞれフーリエ級数展開する」の解説
前述の cn は y を固定するごとに定まるので、cn は y についての関数と考えることが出来る。cn の定義により、cn もまた、y について（1変数の意味で）周期1の周期関数である。 実際、F(x, y) は、周期 E2 を持つため、F(x, y) = F(x, y + 1) である。従って、 c n ( y + 1 ) = ∫ 0 1 F ( x , y + 1 ) exp ( 2 π i n x ) d x = ∫ 0 1 F ( x , y ) exp ( 2 π i n x ) d x = c n ( y ) {\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}(y+1)&=\int _{0}^{1}F(x,y+1)\exp(2\pi inx)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}F(x,y)\exp(2\pi inx)\,\mathrm {d} x\\&=c_{n}(y)\end{aligned}}} である。 実は、cn(y) もまた L2 関数であるため、cn(y) も1変数関数の意味でフーリエ級数展開可能である。すなわち c n , m = ∫ 0 1 c n , m ( y ) exp ( 2 π i m y ) d y {\displaystyle c_{n,m}=\int _{0}^{1}c_{n,m}(y)\exp(2\pi imy)\,\mathrm {d} y} c n ( y ) = ∑ m ∈ Z c n , m exp ( 2 π i m y ) {\displaystyle c_{n}(y)=\sum _{m\in \mathbb {Z} }c_{n,m}\exp(2\pi imy)} (3-2) となる。
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