級数表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:14 UTC 版)
「リーマンのクシー関数」の記事における「級数表現」の解説
クシー関数は級数展開 d d z log ξ ( − z 1 − z ) = ∑ n = 0 ∞ λ n + 1 z n {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n}} をもつ、ただし λ n = 1 ( n − 1 ) ! d n d s n [ s n − 1 log ξ ( s ) ] | s = 1 = ∑ ρ [ 1 − ( 1 − 1 ρ ) n ] {\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]} であり、この和はゼータ関数の非自明な零点 ρ を |Im(ρ)| の順番で渡る。 この展開は Li's criterion（英語版） においてとりわけ重要な役割を果たす。その主張は、リーマン予想はすべての正の n に対して λn > 0 であることと同値であるというものである。
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