級数の評価
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/13 05:57 UTC 版)
「コーシーの凝集判定法」の記事における「級数の評価」の解説
コーシーの凝集判定法は、次のより強い評価式から従う。 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) ≤ ∑ n = 0 ∞ 2 n f ( 2 n ) ≤ 2 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\leq \ 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)} （不等式は拡大実数におけるものと考える必要がある。）この証明の中核部分は、ニコル・オレームによる調和級数の発散性の証明に倣っている。 最初の不等式を示すため、元の級数を2の冪乗個ずつの項にくくり直す。くくられたそれぞれの和は、数列の非増加性より、最大値をとる最初の項の値で置き換えた和で上から抑えられる。 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) = f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + f ( 4 ) + f ( 5 ) + f ( 6 ) + f ( 7 ) + ⋯ = f ( 1 ) + ( f ( 2 ) + f ( 3 ) ) + ( f ( 4 ) + f ( 5 ) + f ( 6 ) + f ( 7 ) ) + ⋯ ≤ f ( 1 ) + ( f ( 2 ) + f ( 2 ) ) + ( f ( 4 ) + f ( 4 ) + f ( 4 ) + f ( 4 ) ) + ⋯ = f ( 1 ) + 2 f ( 2 ) + 4 f ( 4 ) + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ 2 n f ( 2 n ) {\displaystyle {\begin{array}{rcccccccl}\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)&=&f(1)&+&f(2)+f(3)&+&f(4)+f(5)+f(6)+f(7)&+&\cdots \\&=&f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(3){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(5)+f(6)+f(7){\Big )}&+&\cdots \\&\leq &f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}&+&\cdots \\&=&f(1)&+&2f(2)&+&4f(4)&+&\cdots \\&=&\sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\end{array}}} 2番目の不等式を示すため、級数を2の冪乗個ずつの項に再度くくり直す。ただしこのとき以下のように1項ずつくくり方をずらすことで、 ∑ n = 0 ∞ 2 n f ( 2 n ) {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})} のそれぞれの括弧内で「最後」に並んでいた f ( 2 n ) {\displaystyle \textstyle f(2^{n})} が、 2 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {\displaystyle \textstyle 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)} のそれぞれの括弧内では「先頭」に並ぶようにする。 ∑ n = 0 ∞ 2 n f ( 2 n ) = f ( 1 ) + ( f ( 2 ) + f ( 2 ) ) + ( f ( 4 ) + f ( 4 ) + f ( 4 ) + f ( 4 ) ) + ⋯ = ( f ( 1 ) + f ( 2 ) ) + ( f ( 2 ) + f ( 4 ) + f ( 4 ) + f ( 4 ) ) + ⋯ ≤ ( f ( 1 ) + f ( 1 ) ) + ( f ( 2 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + f ( 3 ) ) + ⋯ = 2 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=&f(1)+{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&=&{\Big (}f(1)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&\leq &{\Big (}f(1)+f(1){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(2)+f(3)+f(3){\Big )}+\cdots \\&=&2\sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)\end{array}}} 上の議論を図にしたもの。級数 ∑ f ( n ) {\displaystyle \textstyle \sum f(n)} , ∑ 2 n f ( 2 n ) {\displaystyle \sum 2^{n}f(2^{n})} , 2 ∑ f ( n ) {\displaystyle 2\sum f(n)} の部分和が左から右へと順に重ねて表示されている。
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