級数によるもの
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/09 10:17 UTC 版)
角度、辺の長さといった幾何学的な概念への依存を避けるため、また定義域を複素数に拡張するために、級数（他の定義を採用した三角関数のテイラー展開に一致する）を用いて定義することもできる。この定義は実数の範囲では単位円による定義と一致する。以下の級数は共に示される収束円内で収束する。 z を複素変数、Bn をベルヌーイ数、En をオイラー数とする。 sin z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! z 2 n + 1 for all z , cos z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! z 2 n for all z , tan z = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n 2 2 n ( 1 − 2 2 n ) B 2 n ( 2 n ) ! z 2 n − 1 for | z | < π 2 , cot z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 2 n B 2 n ( 2 n ) ! z 2 n − 1 for 0 < | z | < π , sec z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n E 2 n ( 2 n ) ! z 2 n for | z | < π 2 , csc z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 − 2 2 n ) B 2 n ( 2 n ) ! z 2 n − 1 for 0 < | z | < π . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\quad {\text{for all}}\ z,\\\cos z&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}}{\left(2n\right)!}}z^{2n}\quad {\text{for all}}\ z,\\\tan z&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}2^{2n}\left(1-2^{2n}\right)B_{2n}}{\left(2n\right)!}}z^{2n-1}\quad {\text{for}}\ |z|<{\frac {\pi }{2}},\\\cot z&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}2^{2n}B_{2n}}{\left(2n\right)!}}z^{2n-1}\quad {\text{for}}\ 0<|z|<\pi ,\\\sec z&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}E_{2n}}{\left(2n\right)!}}z^{2n}\quad {\text{for}}\ |z|<{\frac {\pi }{2}},\\\csc z&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}\left(2-2^{2n}\right)B_{2n}}{\left(2n\right)!}}z^{2n-1}\quad {\text{for}}\ 0<|z|<\pi .\end{aligned}}}
※この「級数によるもの」の解説は、「三角関数」の解説の一部です。
「級数によるもの」を含む「三角関数」の記事については、「三角関数」の概要を参照ください。
- 級数によるもののページへのリンク
