級数との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 22:40 UTC 版)
ゼータ関数と級数の関係の視覚化。 黄色線はk=1...50に対する k − s {\displaystyle k^{-s}} を表し、これらの連結は級数を表す。赤の破線は n − s + 1 − s + 1 + ζ ( s ) {\displaystyle {\frac {n^{-s+1}}{-s+1}}+\zeta (s)} を表す。緑線はsの実数部を-0.5から1.5まで変化させたときの ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} の軌道を表す。オレンジの線は級数の軌道を表す。 ゼータ関数と級数の関係の視覚化。緑線はsの虚数部を0.01から10まで変化させたときの ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} の軌道を表す。 複素平面上で複素数はベクトルとして表され、和はベクトルの和で表される。このため級数 ∑ k = 1 n k − s {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{-s}} は k = 1.. n {\displaystyle k=1..n} に対する k − s {\displaystyle k^{-s}} を連結したものとなる。この図形は n {\displaystyle n} が大きくなると、 ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} を中心とする螺旋に漸近する。実際に n {\displaystyle n} が大きいとき以下の近似式が成り立つ。 ∑ k = 1 n k − s ≈ n − s + 1 − s + 1 + ζ ( s ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{-s}\approx {\frac {n^{-s+1}}{-s+1}}+\zeta (s)} このことは ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} が オイラー・マスケローニ定数の一般化とみなせることを示している。 R e ( s ) > 1 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1} のとき、 n {\displaystyle n} を変化させたときの n − s + 1 − s + 1 {\displaystyle {\frac {n^{-s+1}}{-s+1}}} が描く軌跡は原点に収束する螺旋となり、 R e ( s ) = 1 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)=1} のとき、原点を中心とする半径 1 I m ( s ) {\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {Im} (s)}}} の円、 R e ( s ) < 1 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)<1} のとき、原点を中心として外に広がる螺旋となる。このために、級数は R e ( s ) > 1 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1} で ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} に収束し、それ以外の場合は「 ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} を中心として」発散する。 s = 1 + i y {\displaystyle s=1+iy} とし、 y {\displaystyle y} を 0 に近づけると、 ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} の実数部はオイラー・マスケローニ定数に収束し、虚数部は y {\displaystyle y} が正の方向から近づくとき − ∞ {\displaystyle -\infty } 、 y {\displaystyle y} が負の方向から近づくとき ∞ {\displaystyle \infty } となる。
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