ゼータ函数正規化とは? わかりやすく解説

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ゼータ函数正規化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/07/30 15:52 UTC 版)

数学理論物理学において、 ゼータ函数正規化(: Zeta function regularization) とは、物理学での正則化英語版や、発散級数と言われる方法である。これによって、発散する和や積に対して有限の値を対応させ、特に、自己随伴作用素の行列式やトレースを定義することに使うことができる.現在は物理学の中の問題に適用することが行われているが、元来は、数論におけるうまく定義できない和について、実際の意味を与えようとすることに原点がある.なお、物理学では「正規化」ではなく「正則化」と呼ぶが、この記事中では物理学に関する記述でも「正規化」で統一する。また、「自己随伴作用素」という用語を使用した。通常は「自己共役作用素」と呼ぶが、問題の作用素は共役だけでなく転置共役を意味する「自己随伴作用素」という用語を使用した。

定義

発散する可能性を持つ級数 a1 + a2 + .... の和を定義するのに、ゼータ函数正規化と呼ばれる和を取る方法がいくつかある。

一つの方法として、(無限級数の)ゼータ正規化された和を、ζA(−1) が定義できるならばその値で定義する.ここで、ゼータ函数は、Re(s) が大きな数に対して次の和が収束するならばその値で定義し、そうでない(発散する)場合は解析接続することで定義する。

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