数学 における多重ガンマ関数 （たじゅうガンマかんすう、英 : multiple gamma function ）
Γ
N
{\displaystyle \Gamma _{N}}
ガンマ関数 とバーンズのG函数 の一般化である。二重ガンマ関数は Barnes (1901) において導入された。同論文の締めくくりにおいて多重ガンマ関数の存在性が示唆され、実際に Barnes (1904) においてさらなる研究が行われた。
二重ガンマ関数
Γ
2
{\displaystyle \Gamma _{2}}
q -ガンマ関数（英語版 ）
Γ
3
{\displaystyle \Gamma _{3}}
楕円ガンマ関数（英語版 ） とそれぞれ密接な関係がある。
定義
ℜ
a
i
>
0
{\displaystyle \Re a_{i}>0}
Γ
N
(
w
|
a
1
,
.
.
.
,
a
N
)
=
exp
(
∂
∂
s
ζ
N
(
s
,
w
|
a
1
,
.
.
.
,
a
N
)
|
s
=
0
)
{\displaystyle \Gamma _{N}(w|a_{1},...,a_{N})=\exp \left(\left.{\frac {\partial }{\partial s}}\zeta _{N}(s,w|a_{1},...,a_{N})\right|_{s=0}\right)}
として多重ガンマ関数を定める。ここで
ζ
N
{\displaystyle \zeta _{N}}
バーンズのゼータ函数 である(バーンズによるオリジナルの定義からは定数倍のズレが有る)。
性質
w
{\displaystyle w}
Γ
N
(
w
|
a
1
,
.
.
.
,
a
N
)
{\displaystyle \Gamma _{N}(w|a_{1},...,a_{N})}
w
=
−
∑
i
=
1
N
n
i
a
i
{\displaystyle w=-\sum _{i=1}^{N}n_{i}a_{i}}
n
i
{\displaystyle n_{i}}
Γ
N
(
w
|
a
1
,
.
.
.
,
a
N
)
{\displaystyle \Gamma _{N}(w|a_{1},...,a_{N})}
N=0,1 での例を挙げる:
Γ
0
(
w
|
)
=
1
w
,
{\displaystyle \Gamma _{0}(w|)={\frac {1}{w}}\ ,}
Γ
1
(
w
|
a
)
=
a
a
−
1
w
−
1
2
2
π
Γ
(
a
−
1
w
)
,
{\displaystyle \Gamma _{1}(w|a)={\frac {a^{a^{-1}w-{\frac {1}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\Gamma \left(a^{-1}w\right)\ ,}
以下は多重ガンマ関数の周期性と呼ばれる性質であり、通常のガンマ関数における関係式 Γ(x+1)=xΓ(x) の一般化であるといえる。
Γ
N
(
w
|
a
1
,
.
.
.
,
a
N
)
=
Γ
N
−
1
(
w
|
a
1
,
.
.
.
,
a
N
−
1
)
Γ
N
(
w
+
a
N
|
a
1
,
.
.
.
,
a
N
)
.
{\displaystyle \Gamma _{N}(w|a_{1},...,a_{N})=\Gamma _{N-1}(w|a_{1},...,a_{N-1})\Gamma _{N}(w+a_{N}|a_{1},...,a_{N})\ .}
無限積表示 多重ガンマ関数はヴァイエルシュトラス型の無限積表示を持ち、有理型関数である様子がはっきりと見て取れる。また、この表示からは極のありかも一目瞭然である。 二重ガンマ関数の場合は以下のようになる: [1]
Γ
2
(
w
|
a
1
,
a
2
)
=
e
λ
1
w
+
λ
2
w
2
w
∏
(
n
1
,
n
2
)
∈
N
2
(
n
1
,
n
2
)
≠
(
0
,
0
)
e
w
n
1
a
1
+
n
2
a
2
−
1
2
w
2
(
n
1
a
1
+
n
2
a
2
)
2
1
+
w
n
1
a
1
+
n
2
a
2
,
{\displaystyle \Gamma _{2}(w|a_{1},a_{2})={\frac {e^{\lambda _{1}w+\lambda _{2}w^{2}}}{w}}\prod _{\begin{array}{c}(n_{1},n_{2})\in \mathbb {N} ^{2}\\(n_{1},n_{2})\neq (0,0)\end{array}}{\frac {e^{{\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {w^{2}}{(n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2})^{2}}}}}{1+{\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}}}\ ,}
ここで、
λ
1
,
λ
2
{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}
w
{\displaystyle w}
λ
1
=
−
Res
0
s
=
1
ζ
2
(
s
,
0
|
a
1
,
a
2
)
,
{\displaystyle \lambda _{1}=-\mathop {\operatorname {Res} _{0}} _{s=1}\zeta _{2}(s,0|a_{1},a_{2})\ ,}
λ
2
=
1
2
Res
0
s
=
2
ζ
2
(
s
,
0
|
a
1
,
a
2
)
+
1
2
Res
1
s
=
2
ζ
2
(
s
,
0
|
a
1
,
a
2
)
,
{\displaystyle \lambda _{2}={\frac {1}{2}}\mathop {\operatorname {Res} _{0}} _{s=2}\zeta _{2}(s,0|a_{1},a_{2})+{\frac {1}{2}}\mathop {\operatorname {Res} _{1}} _{s=2}\zeta _{2}(s,0|a_{1},a_{2})\ ,}
であり、
Res
n
s
=
s
0
f
(
s
)
=
1
2
π
i
∮
s
0
(
s
−
s
0
)
n
−
1
f
(
s
)
d
s
{\displaystyle \mathop {\operatorname {Res} _{n}} _{s=s_{0}}f(s)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{s_{0}}(s-s_{0})^{n-1}f(s)ds}
s
0
{\displaystyle s_{0}}
n
{\displaystyle n}
また、上記のものとは別に新谷型と呼ばれる無限積表示も Katayama & Ohtsuki (1998) において発見されている。
漸近表示 通常のガンマ関数におけるスターリングの公式 の類似として、多重ガンマ関数にも漸近表示が存在する:
log
Γ
r
(
w
+
a
,
ω
)
=
∑
n
=
0
r
(
−
1
)
n
r
S
1
(
r
−
n
+
1
)
(
a
;
ω
)
(
−
w
)
r
−
n
(
r
−
n
)
!
(
H
r
−
n
−
log
w
)
−
(
−
1
)
r
r
S
2
(
a
;
ω
)
2
w
+
O
(
w
−
2
)
.
{\displaystyle \log \Gamma _{r}(w+a,{\boldsymbol {\omega }})=\sum _{n=0}^{r}{\frac {(-1)^{n}{}_{r}S_{1}^{(r-n+1)}(a;{\boldsymbol {\omega }})(-w)^{r-n}}{(r-n)!}}(H_{r-n}-\log w)-{\frac {(-1)^{r}{}_{r}S_{2}(a;{\boldsymbol {\omega }})}{2w}}+O(w^{-2}).}
この表示は Katayama & Ohtsuki (1998) において示された。
一般正規多重ガンマ関数 多重ガンマ関数の定義は所謂ゼータ函数正規化 の発想によるものである。ミルナーの深い正規積を用いて多重ガンマ関数を一般化したものを一般正規多重ガンマ関数という:
Γ
N
,
k
(
w
|
a
1
,
.
.
.
,
a
N
)
=
exp
(
∂
∂
s
ζ
N
(
s
,
w
|
a
1
,
.
.
.
,
a
N
)
|
s
=
−
k
)
{\displaystyle \Gamma _{N,k}(w|a_{1},...,a_{N})=\exp \left(\left.{\frac {\partial }{\partial s}}\zeta _{N}(s,w|a_{1},...,a_{N})\right|_{s=-k}\right)}
一般正規多重ガンマ関数に対しては、オイラー=ルジャンドルの倍角公式およびラーベの公式の一般化が発見されている。
二重ガンマ関数と共形場理論
ℜ
b
>
0
{\displaystyle \Re b>0}
Q
=
b
+
b
−
1
{\displaystyle Q=b+b^{-1}}
Γ
b
(
w
)
=
Γ
2
(
w
|
b
,
b
−
1
)
Γ
2
(
Q
2
|
b
,
b
−
1
)
,
{\displaystyle \Gamma _{b}(w)={\frac {\Gamma _{2}(w|b,b^{-1})}{\Gamma _{2}\left({\frac {Q}{2}}|b,b^{-1}\right)}}\ ,}
は変換
b
→
b
−
1
{\displaystyle b\to b^{-1}}
Γ
b
(
w
+
b
)
=
2
π
b
b
w
−
1
2
Γ
(
b
w
)
Γ
b
(
w
)
,
Γ
b
(
w
+
b
−
1
)
=
2
π
b
−
b
−
1
w
+
1
2
Γ
(
b
−
1
w
)
Γ
b
(
w
)
.
{\displaystyle \Gamma _{b}(w+b)={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{bw-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (bw)}}\Gamma _{b}(w)\quad ,\quad \Gamma _{b}(w+b^{-1})={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{-b^{-1}w+{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (b^{-1}w)}}\Gamma _{b}(w)\ .}
を満たす。また、
ℜ
w
>
0
{\displaystyle \Re w>0}
log
Γ
b
(
w
)
=
∫
0
∞
d
t
t
[
e
−
w
t
−
e
−
Q
2
t
(
1
−
e
−
b
t
)
(
1
−
e
−
b
−
1
t
)
−
(
Q
2
−
w
)
2
2
e
−
t
−
Q
2
−
w
t
]
.
{\displaystyle \log \Gamma _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {e^{-wt}-e^{-{\frac {Q}{2}}t}}{(1-e^{-bt})(1-e^{-b^{-1}t})}}-{\frac {\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {{\frac {Q}{2}}-w}{t}}\right]\ .}
を満たす。
Γ
b
(
w
)
{\displaystyle \Gamma _{b}(w)}
S
b
(
w
)
=
Γ
b
(
w
)
Γ
b
(
Q
−
w
)
,
Υ
b
(
w
)
=
1
Γ
b
(
w
)
Γ
b
(
Q
−
w
)
.
{\displaystyle S_{b}(w)={\frac {\Gamma _{b}(w)}{\Gamma _{b}(Q-w)}}\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w)={\frac {1}{\Gamma _{b}(w)\Gamma _{b}(Q-w)}}\ .}
これは関係式
S
b
(
w
+
b
)
=
2
sin
(
π
b
w
)
S
b
(
w
)
,
Υ
b
(
w
+
b
)
=
Γ
(
b
w
)
Γ
(
1
−
b
w
)
b
1
−
2
b
w
Υ
b
(
w
)
,
{\displaystyle S_{b}(w+b)=2\sin(\pi bw)S_{b}(w)\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w+b)={\frac {\Gamma (bw)}{\Gamma (1-bw)}}b^{1-2bw}\Upsilon _{b}(w)\ ,}
とこれらを
b
→
b
−
1
{\displaystyle b\to b^{-1}}
0
<
ℜ
w
<
ℜ
Q
{\displaystyle 0<\Re w<\Re Q}
log
S
b
(
w
)
=
∫
0
∞
d
t
t
[
sinh
(
Q
2
−
w
)
t
2
sinh
(
1
2
b
t
)
sinh
(
1
2
b
−
1
t
)
−
Q
−
2
w
t
]
,
{\displaystyle \log S_{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {\sinh \left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{2\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}-{\frac {Q-2w}{t}}\right]\ ,}
log
Υ
b
(
w
)
=
∫
0
∞
d
t
t
[
(
Q
2
−
w
)
2
e
−
t
−
sinh
2
1
2
(
Q
2
−
w
)
t
sinh
(
1
2
b
t
)
sinh
(
1
2
b
−
1
t
)
]
.
{\displaystyle \log \Upsilon _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}e^{-t}-{\frac {\sinh ^{2}{\frac {1}{2}}\left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}\right]\ .}
函数
Γ
b
,
S
b
,
Υ
b
{\displaystyle \Gamma _{b},S_{b},\Upsilon _{b}}
b
{\displaystyle b}
ヴィラソロ代数 の中心電荷 と関係している[2] リウヴィル場理論 における3点相関関数は
Υ
b
{\displaystyle \Upsilon _{b}}
脚注 参考文献
Barnes, E. W. (1901), “The Theory of the Double Gamma Function” , Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character (The Royal Society) 196 : 265–387, Bibcode : 1901RSPTA.196..265B , doi :10.1098/rsta.1901.0006 , ISSN 0264-3952 , JSTOR 90809 , https://jstor.org/stable/90809 Barnes, E. W. (1904), “On the theory of the multiple gamma function” , Trans. Camb. Philos. Soc. 19 : 374–425, https://archive.org/details/transactions19camb/page/374/mode/2up Katayama, Koji; Ohtsuki, Makoto (1998), “On The Multiple Gamma Function”, Tokyo Journal of Mathematics 21 (1): 159-182, doi :10.3836/tjm/1270041994
関連文献
Barnes, E. W. (1899), “The Genesis of the Double Gamma Functions”, Proc. London Math. Soc. s1-31 : 358–381, doi :10.1112/plms/s1-31.1.358 Barnes, E. W. (1899), “The Theory of the Double Gamma Function. [Abstract ”], Proceedings of the Royal Society of London (The Royal Society) 66 : 265–268, doi :10.1098/rspl.1899.0101 ,
ISSN 0370-1662 , JSTOR 116064 , https://jstor.org/stable/116064 Friedman, Eduardo; Ruijsenaars, Simon (2004), “Shintani–Barnes zeta and gamma functions”, Advances in Mathematics 187 (2): 362–395, doi :10.1016/j.aim.2003.07.020 ,
ISSN 0001-8708 , MR
2078341 Ruijsenaars, S. N. M. (2000), “On Barnes' multiple zeta and gamma functions”, Advances in Mathematics 156 (1): 107–132, doi :10.1006/aima.2000.1946 ,
ISSN 0001-8708 , MR
1800255
![{\displaystyle \log \Gamma _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {e^{-wt}-e^{-{\frac {Q}{2}}t}}{(1-e^{-bt})(1-e^{-b^{-1}t})}}-{\frac {\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {{\frac {Q}{2}}-w}{t}}\right]\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5d6dd66b08ad191b07aebe164e187d85f997071)
![{\displaystyle \log S_{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {\sinh \left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{2\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}-{\frac {Q-2w}{t}}\right]\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51f56f13639f71e532a44af524717103306d57bd)
![{\displaystyle \log \Upsilon _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}e^{-t}-{\frac {\sinh ^{2}{\frac {1}{2}}\left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}\right]\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd97cc7b34cc7565f9396265a4d91f58504cce72)
