無限積表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/29 02:47 UTC 版)
多重ガンマ関数はヴァイエルシュトラス型の無限積表示を持ち、有理型関数である様子がはっきりと見て取れる。また、この表示からは極のありかも一目瞭然である。 二重ガンマ関数の場合は以下のようになる: Γ 2 ( w | a 1 , a 2 ) = e λ 1 w + λ 2 w 2 w ∏ ( n 1 , n 2 ) ∈ N 2 ( n 1 , n 2 ) ≠ ( 0 , 0 ) e w n 1 a 1 + n 2 a 2 − 1 2 w 2 ( n 1 a 1 + n 2 a 2 ) 2 1 + w n 1 a 1 + n 2 a 2 , {\displaystyle \Gamma _{2}(w|a_{1},a_{2})={\frac {e^{\lambda _{1}w+\lambda _{2}w^{2}}}{w}}\prod _{\begin{array}{c}(n_{1},n_{2})\in \mathbb {N} ^{2}\\(n_{1},n_{2})\neq (0,0)\end{array}}{\frac {e^{{\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {w^{2}}{(n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2})^{2}}}}}{1+{\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}}}\ ,} ここで、 λ 1 , λ 2 {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}} は w {\displaystyle w} と独立な係数 λ 1 = − R e s 0 s = 1 ζ 2 ( s , 0 | a 1 , a 2 ) , {\displaystyle \lambda _{1}=-{\underset {s=1}{\mathrm {Res} _{0}}}\zeta _{2}(s,0|a_{1},a_{2})\ ,} λ 2 = 1 2 R e s 0 s = 2 ζ 2 ( s , 0 | a 1 , a 2 ) + 1 2 R e s 1 s = 2 ζ 2 ( s , 0 | a 1 , a 2 ) , {\displaystyle \lambda _{2}={\frac {1}{2}}{\underset {s=2}{\mathrm {Res} _{0}}}\zeta _{2}(s,0|a_{1},a_{2})+{\frac {1}{2}}{\underset {s=2}{\mathrm {Res} _{1}}}\zeta _{2}(s,0|a_{1},a_{2})\ ,} であり、 R e s n s = s 0 f ( s ) = 1 2 π i ∮ s 0 ( s − s 0 ) n − 1 f ( s ) d s {\displaystyle {\underset {s=s_{0}}{\mathrm {Res} _{n}}}f(s)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{s_{0}}(s-s_{0})^{n-1}f(s)ds} は s 0 {\displaystyle s_{0}} における位数 n {\displaystyle n} の留数である。 また、上記のものとは別に新谷型と呼ばれる無限積表示も Katayama & Ohtsuki (1998) において発見されている。
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