無限級数の収束判定法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/30 01:28 UTC 版)
上に有界な正項級数 各項が実数で正の級数を正項級数という。上に有界な単調増加な実数列が収束することから、 正項級数は有限項までの和が常にある一定の上界Ｍを持つならば収束する。 （これはもちろん絶対収束する級数でもある）。条件を弱めて各項を非負としても良い。 交代級数の収束判定 各項が実で符号が毎回反転する級数を交代級数という。 交代級数は項が0に収束するならば収束する。 ガウスの判定法 すべての項が正の数である級数（正項級数）∑an が、ある正の数 α に対して、 a n a n + 1 = 1 + α n + O ( 1 n 2 ) {\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\alpha }{n}}+O\!\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)} と書けるならば、∑an は α > 1 のとき収束し、α ≤ 1 のとき発散する。 ライプニッツの収束判定法 (Leibniz criterion) 交項級数 ∑ an は |an| が単調減少で 0 に収束するならば収束する。 コーシーの冪根判定法 実数を各項にもつ級数 ∑an は、 lim sup | a n | n < 1 {\displaystyle \limsup {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<1} ならば絶対収束し、逆にこの量が1より大きければ発散する。 ダランベールの収束判定法 連続する項の比の絶対値が1より小さな極限を持つ級数は絶対収束し、逆に1より大きな極限を持つ級数は発散する。 比較判定法 |an| < bn (n = 1, 2, …) が成り立つとき、 ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}} を優級数、 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} を劣級数という。優級数が収束するならば劣級数は絶対収束する。（対偶により）劣級数が発散すれば優級数も発散する。
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