無限等比級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/11 15:08 UTC 版)
∑ n = 1 ∞ a r n − 1 = a + a r + a r 2 + ⋯ + a r n − 1 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }ar^{n-1}=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}+\cdots } を初項 a {\displaystyle a} 、公比 r {\displaystyle r} の無限等比級数という。 −1 < r < 1 すなわち |r| < 1 のとき、無限等比級数は収束し、その和を次のように求めることができる。 ∑ n = 1 ∞ a r n − 1 = lim n → ∞ ∑ k = 1 n a r k − 1 = lim n → ∞ a ( 1 − r n ) 1 − r = lim n → ∞ a 1 − r − lim n → ∞ a r n 1 − r = a 1 − r {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }ar^{n-1}&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a}{1-r}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {ar^{n}}{1-r}}\\&={\frac {a}{1-r}}\end{aligned}}} a ≠ 0 かつ |r| ≥ 1 ではこの級数は収束しない。 a = 1 の場合の式を r で項別微分すると d d r ∑ k = 0 ∞ r k = ∑ k = 1 ∞ k r k − 1 = 1 ( 1 − r ) 2 {\displaystyle {\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }kr^{k-1}={\frac {1}{(1-r)^{2}}}} となり、 ∑ k = 0 ∞ k r k = ∑ k = 0 ∞ k r k − 1 r = r ( 1 − r ) 2 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }kr^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }kr^{k-1}r={\frac {r}{\left(1-r\right)^{2}}}} が導かれる。
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