無限直積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/09 02:06 UTC 版)
可算個の原点付き距離空間の族 (Xn, dn, bn)n ∈ Nが与えられたとき、直積集合 ∏n ∈ NXn 上に拡張距離関数を dp((xn)n ∈ N, (yn)n ∈ N) := ‖ (dn(xn, yn))n ∈ N ‖p によって定めることができる（ただし 0 ≤ p ≤ ∞ で ‖ ‖pは数列空間上の ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} ノルム）。特に {(xn)n ∈ N∈ ∏n∈NXn: dp((xn)n ∈ N, (bn)n ∈ N) < ∞} 上では距離関数となっている。更に Dn を Xn の直径としたとき、‖(Dn)n∈N‖p< ∞ ならばこの距離は ∏n∈NXn 全体で有限となり、その位相はそれぞれの Xnを位相空間と見なしたときの ∏n∈NXn 上の直積位相に一致している。 特に、(Xn, dn) を2点集合に離散距離（の (1/2)n倍）を入れたものの場合、えられる直積距離空間 ({0, 1}N, d) はカントール集合に実数の差の絶対値から定まる距離を与えたものと同一視できる。
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