無限生成ブレイド群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/29 09:27 UTC 版)
この考え方を無限本の糸からなるブレイドへ一般化するには、多数の方法がある。最も簡単な方法はブレイド群の帰納極限を取ることであり、そこでは結び付けている写像 f : Bn → Bn+1 は、Bn の n−1 個の生成子を、Bn+1 の最初の n−1 個の生成子へ写す（つまり、自明な糸をひとつ付け加える）。ファベル(Fabel)は、完備化が異なる構造の群となる群を結果として得れるような、2つの位相が存在することを示した。ひとつは、非常におとなしい群で、無限個の穴のあいた円板の写像類群（英語版）(mapping class group)に同型 — 単位円板の境界に極限を持つように穴の開いた離散集合である。 第二の群は、有限ブレイド群と同じと考えられる。各々の点 (0, 1/n) とすべてのブレイドの集合に糸を配置すると、そこではブレイドが点 (0, 1/n, 0) から点 (0, 1/n, 1) への経路の集まりとして定義され、従って、函数が終点上の置換となり、このワイルドな群に同型となる。興味深い事実は、この群の中の純ブレイド群が、有限ブレイド群 Pn の逆極限と、ヒルベルトの立方体(Hilbert cube)から次の式で表される集合をマイナスした空間の基本群の双方と同型となるという事実である。 { ( x i ) i ∈ N ∣ x i = x j for some i ≠ j } . {\displaystyle \{(x_{i})_{i\in {\mathbb {N}}}\mid x_{i}=x_{j}{\text{ for some }}i\neq j\}.}
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