各種特別な体に関する類体論とは? わかりやすく解説

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各種特別な体に関する類体論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/05 05:30 UTC 版)

類体論」の記事における「各種特別な体に関する類体論」の解説

幾つかの小さい体、例え有理数体 Q やその虚二次拡大体については、もっとたくさんの情報得られる詳細な理論存在する例えば、Q の絶対ガロア群アーベル化 G は、全ての素数亙って取った p-進整数環単元群無限直積(に自然同型)であり、対応する Q の最大アーベル拡大1 の冪根全てによって生成された体となる。このことは、もとはレオポルト・クロネッカー予想であったクロネッカー–ヴェーバーの定理として知られる。この場合の、類体論相互律同型(あるいはアルティンの相互律写像)も同定理に従って具体的に書くことができる。1 の全ての冪根からなる群を μ ∞ ( ⊂ C × ) {\displaystyle \mu _{\infty }(\subset \mathbb {C} ^{\times })} と書くことにする(円周群 C× のねじれ部分群)と、アルティンの相互律写像はそれが数論正規化されているならば Z ^ × → G Q ab = Gal ( Q ( μ ∞ ) / Q ) ; x ↦ ( ζ ↦ ζ x ) {\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}^{\times }\to G_{\mathbb {Q} }^{\text{ab}}={\text{Gal}}(\mathbb {Q} (\mu _{\infty })/\mathbb {Q} );\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{x})} によって、あるいはそれが幾何学的正規化されているならば Z ^ × → G Q ab = Gal ( Q ( μ ∞ ) / Q ) ; x ↦ ( ζ ↦ ζ − x ) {\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}^{\times }\to G_{\mathbb {Q} }^{\text{ab}}={\text{Gal}}(\mathbb {Q} (\mu _{\infty })/\mathbb {Q} );\quad x\mapsto (\zeta \mapsto \zeta ^{-x})} によって与えられる。しかし、このような小さな代数体対す詳細理論主要な構成法一般代数体場合にまで拡張することはできないし、一般類体論用いられるのはもっと違った概念的原理である。

※この「各種特別な体に関する類体論」の解説は、「類体論」の解説の一部です。
「各種特別な体に関する類体論」を含む「類体論」の記事については、「類体論」の概要を参照ください。

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