代数的整数論
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代数的整数論（だいすうてきせいすうろん、英: algebraic number theory）は数論の一分野であり、抽象代数学の手法を用いて、整数や有理数、およびそれらの一般化を研究する。数論的な問題は、代数体やその整数環、有限体、関数体のような代数的対象の性質のことばで記述される。これらの性質は、例えば環において一意分解が成り立つかとか、イデアルの性質、体のガロワ群などであるが、ディオファントス方程式の解の存在のような、数論において極めて重要な問題を解決することができる。
注
出典
- ^ Stark, pp. 145–146.
- ^ Aczel, pp. 14–15.
- ^ Stark, pp. 44–47.
- ^ Disquisitiones Arithmeticae at Yalepress.yale.edu
- ^ a b Elstrodt, Jürgen (2007). “The Life and Work of Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)” (PDF). Clay Mathematics Proceedings 2007年12月25日閲覧。.
- ^ Kanemitsu, Shigeru; Chaohua Jia (2002). Number theoretic methods: future trends. Springer. pp. 271–274. ISBN 978-1-4020-1080-4
- ^ Reid, Constance, 1996. Hilbert, Springer, ISBN 0-387-94674-8。
- ^ Helmut Hasse, History of Class Field Theory, in Algebraic Number Theory, edited by Cassels and Frölich, Academic Press, 1967, pp. 266–279
- ^ Fermat's Last Theorem, Simon Singh, 1997, ISBN 1-85702-521-0
- ^ Kolata, Gina (1993年6月24日). “At Last, Shout of 'Eureka!' In Age-Old Math Mystery”. The New York Times 2013年1月21日閲覧。
- ^ See proposition VIII.8.6.11 of Neukirch, Schmidt & Wingberg 2000
無限素点
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n次代数体 K = Q ( θ ) {\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta )} に対して、θ の共役数を以下の様に並べる： θ ( 1 ) , … , θ ( r 1 ) {\displaystyle \theta ^{(1)},\ldots ,\theta ^{(r_{1})}} は実数で、 j = 1 , … , r 2 {\displaystyle j=1,\ldots ,r_{2}} に対して、 θ ( r 1 + j ) , θ ( r 1 + r 2 + j ) {\displaystyle \theta ^{(r_{1}+j)},\ \theta ^{(r_{1}+r_{2}+j)}} は複素共役とする。但し、 r 1 + 2 r 2 = n {\displaystyle r_{1}+2r_{2}=n} とする。 j = 1 , … , r 1 + r 2 {\displaystyle j=1,\ldots ,r_{1}+r_{2}} に対して、K 上のアルキメデス付値 | ⋅ | j {\displaystyle |\cdot |_{j}} を | α | j = { | α ( j ) | ( j = 1 , … , r 1 ) | α ( j ) | 2 ( j = r 1 , … , r 1 + r 2 ) ( α ∈ K × ) {\displaystyle |\alpha |_{j}={\begin{cases}|\alpha ^{(j)}|&(j=1,\ldots ,r_{1})\\|\alpha ^{(j)}|^{2}&(j=r_{1},\ldots ,r_{1}+r_{2})\end{cases}}\ \ \ \ (\alpha \in K^{\times })} とおく。但し、 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} は、実数または複素数の絶対値を K に制限したものである。 すると、これら r 1 + r 2 {\displaystyle r_{1}+r_{2}} 個の乗法付値は互いに同値ではない。これらを正規付値 (normal valuation)という。 j = 1 , … , r 1 + r 2 {\displaystyle j=1,\ldots ,r_{1}+r_{2}} に対して、正規付値 | ⋅ | j {\displaystyle |\cdot |_{j}} に同値な K の乗法付値全体の集合を v ∞ j {\displaystyle v_{\infty }^{j}} とおいたとき、 v ∞ 1 , … , v ∞ r 1 + r 2 {\displaystyle v_{\infty }^{1},\ldots ,v_{\infty }^{r_{1}+r_{2}}} を無限素点 (infinite prime/infinite place)または無限素因子という。特に、 v ∞ 1 , … , v ∞ r 1 {\displaystyle v_{\infty }^{1},\ldots ,v_{\infty }^{r_{1}}} を実素点 (real prime/real place)、実無限素点または実素因子といい、 v ∞ r 1 + 1 , … , v ∞ r 1 + r 2 {\displaystyle v_{\infty }^{r_{1}+1},\ldots ,v_{\infty }^{r_{1}+r_{2}}} を複素素点 (complex prime/complex place)、複素無限素点または虚素因子という。
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