無限素点
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/20 06:23 UTC 版)
n次代数体 K = Q ( θ ) {\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta )} に対して、θ の共役数を以下の様に並べる： θ ( 1 ) , … , θ ( r 1 ) {\displaystyle \theta ^{(1)},\ldots ,\theta ^{(r_{1})}} は実数で、 j = 1 , … , r 2 {\displaystyle j=1,\ldots ,r_{2}} に対して、 θ ( r 1 + j ) , θ ( r 1 + r 2 + j ) {\displaystyle \theta ^{(r_{1}+j)},\ \theta ^{(r_{1}+r_{2}+j)}} は複素共役とする。但し、 r 1 + 2 r 2 = n {\displaystyle r_{1}+2r_{2}=n} とする。 j = 1 , … , r 1 + r 2 {\displaystyle j=1,\ldots ,r_{1}+r_{2}} に対して、K 上のアルキメデス付値 | ⋅ | j {\displaystyle |\cdot |_{j}} を | α | j = { | α ( j ) | ( j = 1 , … , r 1 ) | α ( j ) | 2 ( j = r 1 , … , r 1 + r 2 ) ( α ∈ K × ) {\displaystyle |\alpha |_{j}={\begin{cases}|\alpha ^{(j)}|&(j=1,\ldots ,r_{1})\\|\alpha ^{(j)}|^{2}&(j=r_{1},\ldots ,r_{1}+r_{2})\end{cases}}\ \ \ \ (\alpha \in K^{\times })} とおく。但し、 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} は、実数または複素数の絶対値を K に制限したものである。 すると、これら r 1 + r 2 {\displaystyle r_{1}+r_{2}} 個の乗法付値は互いに同値ではない。これらを正規付値 (normal valuation)という。 j = 1 , … , r 1 + r 2 {\displaystyle j=1,\ldots ,r_{1}+r_{2}} に対して、正規付値 | ⋅ | j {\displaystyle |\cdot |_{j}} に同値な K の乗法付値全体の集合を v ∞ j {\displaystyle v_{\infty }^{j}} とおいたとき、 v ∞ 1 , … , v ∞ r 1 + r 2 {\displaystyle v_{\infty }^{1},\ldots ,v_{\infty }^{r_{1}+r_{2}}} を無限素点 (infinite prime/infinite place)または無限素因子という。特に、 v ∞ 1 , … , v ∞ r 1 {\displaystyle v_{\infty }^{1},\ldots ,v_{\infty }^{r_{1}}} を実素点 (real prime/real place)、実無限素点または実素因子といい、 v ∞ r 1 + 1 , … , v ∞ r 1 + r 2 {\displaystyle v_{\infty }^{r_{1}+1},\ldots ,v_{\infty }^{r_{1}+r_{2}}} を複素素点 (complex prime/complex place)、複素無限素点または虚素因子という。
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