用語と記号

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用語と記号

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/05 05:30 UTC 版)

「類体論」の記事における「用語と記号」の解説

代数体Kのすべての素点𝔭をわたる形式的な無限積𝔪 = ∏𝔭 𝔭n𝔭で次の3条件を満たすものを（K の）整因子またはモジュラス（英語版）という。 n𝔭 ≧ 0 ほとんどすべての 𝔭 に対して n𝔭 = 0 無限素点 𝔭 については n𝔭 が0もしくは1 整因子に対して、約数、倍数、最大公約数、最小公倍数、割り切れる、素点の指数、などの概念が自然に定義される。K の整数環の0ではないイデアルは素イデアル分解を使って自然に整因子とみなせる。 整因子𝔪の有限素点だけを取り出したものを𝔪0 = ∏𝔭∤∞ 𝔭n𝔭と書く。ここで、素点𝔭が有限素点であることを𝔭∤∞、無限素点であることを𝔭∣∞と表している。𝔪0を𝔪の有限部分（finite part）という。これは自然にKのイデアルと思える。 Kの分数イデアルで𝔪の有限部分と互いの素なもの全体をI𝔪と置く。これは自然に群になる。群としての構造は𝔪と互いに素な素イデアルを底とする自由アーベル群である。 I𝔪の部分群P𝔪を(α/β)という形の単項イデアル全体とする。ここでαとβはKの0ではない整数で以下の条件を満たすものである。 α と β は 𝔪0 と互いに素 α ≡ β mod 𝔪0 実素点 𝔭 に対して α𝔭/β𝔭 > 0。ここで K の元 γ に対して γ𝔭 で実素点 𝔭 による γ の像を表している。 包含関係I𝔪 ⊃ H ⊃ P𝔪にある群Hを𝔪 を法とする合同群（congruence subgroup modulo 𝔪）と呼ぶ。 L/Kを有限次拡大とする。I𝔪の部分群N𝔪(L/K)をLの分数イデアルのノルムになっているような元全体とする。これは𝔭f（𝔭 は K の素イデアルで𝔪と互いに素なもの、f はそれのL/Kにおける剰余次数）で生成されるI𝔪の部分群である。H𝔪(L/K) = P𝔪・N𝔪(L/K)と置く。これを拡大 L/K に対する合同群という。 さらにL/Kはアーベル拡大であったとする。この拡大で不分岐なKの素イデアル𝔭に対してそのフロベニウス元を(.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}L/K/𝔭) ∈ Gal(L/K)と書く。L/Kで分岐する素イデアルを含まない分数イデアル𝔞に対しても、素イデアル分解を使って(L/K/𝔞)を定義する。この記号をアルティン記号（Artin symbol）と呼ぶ。整因子𝔪がL/Kで分岐する素イデアルすべてで割り切れるなら、アルティン記号によりI𝔪からGal(L/K)への群準同型が定義される。これをアルティン写像（Artin map）と呼ぶ。