分数イデアルのノルム
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/20 06:23 UTC 版)
a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} を、n次代数体 K の分数イデアルとし、 α 1 , … , α n {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}} を、 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} の基底とする。また、 ω 1 , … , ω n {\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}} を、代数体 K の整基底としたとき、 | Δ ( α 1 , … , α n ) / Δ ( ω 1 , … , ω n ) | {\displaystyle |\Delta (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})/\Delta (\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})|} は、基底の取り方に依存しない。そこで、 | Δ ( α 1 , … , α n ) / Δ ( ω 1 , … , ω n ) | {\displaystyle |\Delta (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})/\Delta (\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})|} を、分数イデアル a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} のノルムといい、 N a {\displaystyle N{\mathfrak {a}}} と書く。 ノルムの性質任意の分数イデアル a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} に対して、 N a {\displaystyle N{\mathfrak {a}}} は 0 でない有理数である。 整イデアルに対して、分数イデアルとしてのノルムと整イデアルとしてのノルムは等しい。 任意の分数イデアル a , b {\displaystyle {\mathfrak {a}},\ {\mathfrak {b}}} に対して、 N a b = N a N b {\displaystyle N{\mathfrak {ab}}=N{\mathfrak {a}}N{\mathfrak {b}}} 。
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