不分岐類体論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/05 05:30 UTC 版)
詳細は「ヒルベルト類体」を参照 代数体Kの自明な整因子𝔪 = (1)を取りH = P(1) と置く。存在定理よりこれに対応するアーベル拡大K′が存在する。これをK上のヒルベルト類体、または絶対類体（absolute class field）と呼ぶ。射類体の記号を使えば、これをK(1)と表すこともできる。もともとヒルベルトが存在を予想した「類体」は無限素点で何も条件をつけていないのでこの体とは異なる。しかし、現在ヒルベルト類体と呼ばれているものはここで定義したものである。 アルティン相互法則により次が成り立つ。 ヒルベルト類体のもとの代数体上のガロア群はイデアル類群と同型である。またその同型写像はアルティン写像により与えられる。 代数体のすべての素イデアルはヒルベルト類体において不分岐である。さらに、素イデアルが定めるイデアル類群の元の位数とヒルベルト類体における剰余次数は等しい。 ヒルベルト類体はすべての射類体に含まれる。代数体のすべてのイデアルはヒルベルト類体に延長すると単項イデアルになることが知られている（単項化定理（英語版））。
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