正規付値
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 09:23 UTC 版)
( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} を局所体とし、F を | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} の剰余体、π を | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} の素元としたとき、 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} と同値な非アルキメデス付値 | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}} として | π | K = ( # F ) − 1 {\displaystyle |\pi |_{K}=(\#F)^{-1}} を満たすものが唯１つ存在する。この | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}} を K の正規付値という。 ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} を完備なアルキメデス付値体としたとき、K は実数体もしくは複素数体と同型であるが、 K の正規付値を、K が実数体と同型であるときは、 | ⋅ | K = | ⋅ | ∞ {\displaystyle \scriptstyle |\cdot |_{K}=|\cdot |_{\infty }} とし、K が複素数体と同型であるとき、 | ⋅ | K = | ⋅ | ∞ 2 {\displaystyle \scriptstyle |\cdot |_{K}=|\cdot |_{\infty }^{2}} と定める。ここで、 | ⋅ | ∞ {\displaystyle \scriptstyle |\cdot |_{\infty }} は実数もしくは複素数上の絶対値とする。 上で定義された正規付値と、先に挙げた単数群の分解を用いることで、以下のことが得られる。 局所体 K に対して、正整数 n を K の標数が 0 でないときは、K の標数で割り切れない様にとる(K の標数が 0 であるときは n は任意の正整数でよい)。 K × n {\displaystyle K^{\times n}} を K × {\displaystyle K^{\times }} に含まれる n 乗数全体からなる群とし、 U n {\displaystyle U^{n}} を単数群 U に含まれる n 乗数全体からなる群とすれば、 ( K × : K × n ) = n ( U : U n ) = n | n | K # μ n ( K ) {\displaystyle (K^{\times }:K^{\times n})=n(U:U^{n})={\frac {n}{|n|_{K}}}\#\mu _{n}(K)} が成立する。但し μ n ( K ) {\displaystyle \mu _{n}(K)} は K に含まれる 1 の n 乗根全体のなす群とし、 | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}} は K の正規付値である。 K が実数体もしくは複素数体であるときは、上式に類似した ( K × : K × n ) = ( U : U n ) = n | n | K # μ n ( K ) {\displaystyle (K^{\times }:K^{\times n})=(U:U^{n})={\frac {n}{|n|_{K}}}\#\mu _{n}(K)} が成立する。
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