二重ガンマ関数と共形場理論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/29 02:47 UTC 版)
「多重ガンマ関数」の記事における「二重ガンマ関数と共形場理論」の解説
ℜ b > 0 {\displaystyle \Re b>0} , Q = b + b − 1 {\displaystyle Q=b+b^{-1}} において、函数 Γ b ( w ) = Γ 2 ( w | b , b − 1 ) Γ 2 ( Q 2 | b , b − 1 ) , {\displaystyle \Gamma _{b}(w)={\frac {\Gamma _{2}(w|b,b^{-1})}{\Gamma _{2}\left({\frac {Q}{2}}|b,b^{-1}\right)}}\ ,} は変換 b → b − 1 {\displaystyle b\to b^{-1}} のもとで不変であり、関係式 Γ b ( w + b ) = 2 π b b w − 1 2 Γ ( b w ) Γ b ( w ) , Γ b ( w + b − 1 ) = 2 π b − b − 1 w + 1 2 Γ ( b − 1 w ) Γ b ( w ) . {\displaystyle \Gamma _{b}(w+b)={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{bw-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (bw)}}\Gamma _{b}(w)\quad ,\quad \Gamma _{b}(w+b^{-1})={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{-b^{-1}w+{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (b^{-1}w)}}\Gamma _{b}(w)\ .} を満たす。また、 ℜ w > 0 {\displaystyle \Re w>0} において積分表示 log Γ b ( w ) = ∫ 0 ∞ d t t [ e − w t − e − Q 2 t ( 1 − e − b t ) ( 1 − e − b − 1 t ) − ( Q 2 − w ) 2 2 e − t − Q 2 − w t ] . {\displaystyle \log \Gamma _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {e^{-wt}-e^{-{\frac {Q}{2}}t}}{(1-e^{-bt})(1-e^{-b^{-1}t})}}-{\frac {\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {{\frac {Q}{2}}-w}{t}}\right]\ .} を満たす。 Γ b ( w ) {\displaystyle \Gamma _{b}(w)} から二つの関数を構成する: S b ( w ) = Γ b ( w ) Γ b ( Q − w ) , Υ b ( w ) = 1 Γ b ( w ) Γ b ( Q − w ) . {\displaystyle S_{b}(w)={\frac {\Gamma _{b}(w)}{\Gamma _{b}(Q-w)}}\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w)={\frac {1}{\Gamma _{b}(w)\Gamma _{b}(Q-w)}}\ .} これは関係式 S b ( w + b ) = 2 sin ( π b w ) S b ( w ) , Υ b ( w + b ) = Γ ( b w ) Γ ( 1 − b w ) b 1 − 2 b w Υ b ( w ) , {\displaystyle S_{b}(w+b)=2\sin(\pi bw)S_{b}(w)\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w+b)={\frac {\Gamma (bw)}{\Gamma (1-bw)}}b^{1-2bw}\Upsilon _{b}(w)\ ,} とこれらを b → b − 1 {\displaystyle b\to b^{-1}} とした別の関係式を満たす。また、 0 < ℜ w < ℜ Q {\displaystyle 0<\Re w<\Re Q} における積分表示も存在する: log S b ( w ) = ∫ 0 ∞ d t t [ sinh ( Q 2 − w ) t 2 sinh ( 1 2 b t ) sinh ( 1 2 b − 1 t ) − Q − 2 w t ] , {\displaystyle \log S_{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {\sinh \left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{2\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}-{\frac {Q-2w}{t}}\right]\ ,} log Υ b ( w ) = ∫ 0 ∞ d t t [ ( Q 2 − w ) 2 e − t − sinh 2 1 2 ( Q 2 − w ) t sinh ( 1 2 b t ) sinh ( 1 2 b − 1 t ) ] . {\displaystyle \log \Upsilon _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}e^{-t}-{\frac {\sinh ^{2}{\frac {1}{2}}\left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}\right]\ .} 函数 Γ b , S b , Υ b {\displaystyle \Gamma _{b},S_{b},\Upsilon _{b}} は二次元共形場理論の相関関数にあらわれ、パラメータ b {\displaystyle b} はヴィラソロ代数の中心電荷と関係している。とくに、リウヴィル場理論 における3点相関関数は Υ b {\displaystyle \Upsilon _{b}} で書ける。
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