熱核正規化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/14 13:53 UTC 版)
f ( s ) = ∑ n a n e − s | ω n | {\displaystyle f(s)=\sum _{n}a_{n}e^{-s|\omega _{n}|}} この和は、熱核正規化、もしくは熱核で正規化された和と呼ばれることがあり、名前は ω n {\displaystyle \omega _{n}} が熱核の固有値と考えられることがあることに由来している。数学的には、そのような和は一般化されたディリクレ級数と呼ばれ、平均を取ることにそれを使うことをはアーベル平均 と呼ばれる。これはラプラス＝スティルチェス変換と密接に関連していて、次のように表される。 f ( s ) = ∫ 0 ∞ e − s t d α ( t ) {\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\alpha (t)} ここに、 α ( t ) {\displaystyle \alpha (t)} はステップ函数で、このステップとは t = | ω n | {\displaystyle t=|\omega _{n}|} で a n {\displaystyle a_{n}} ジャンプする函数を意味する。そのような級数の収束についての定理は多く存在し、例えば、ハーディ-リトルウッドのタウバー型定理がある。彼らによれば、 L = lim sup n → ∞ log | ∑ k = 1 n a k | | ω n | {\displaystyle L=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log \vert \sum _{k=1}^{n}a_{k}\vert }{|\omega _{n}|}}} とおくと、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} の級数は半平面 ℜ ( s ) > L {\displaystyle \Re (s)>L} で収束し、半平面 ℜ ( s ) > L {\displaystyle \Re (s)>L} の任意のコンパクト部分集合の上で一様収束する。物理への応用のほとんどで、 L = 0 {\displaystyle L=0} となっている。
※この「熱核正規化」の解説は、「ゼータ函数正規化」の解説の一部です。
「熱核正規化」を含む「ゼータ函数正規化」の記事については、「ゼータ函数正規化」の概要を参照ください。
- 熱核正規化のページへのリンク
