級数による表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/25 10:23 UTC 版)
ネイピア数 e は次のような級数で表される。 e = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! {\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}} e = [ ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! ] − 1 {\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\right]^{-1}} e = [ ∑ k = 0 ∞ 1 − 2 k ( 2 k ) ! ] − 1 {\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}\right]^{-1}} e = 1 2 ∑ k = 0 ∞ k + 1 k ! {\displaystyle e={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}} e = 2 ∑ k = 0 ∞ k + 1 ( 2 k + 1 ) ! {\displaystyle e=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}} e = ∑ k = 0 ∞ 3 − 4 k 2 ( 2 k + 1 ) ! {\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}} e = ∑ k = 0 ∞ ( 3 k ) 2 + 1 ( 3 k ) ! {\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}} e = [ ∑ k = 0 ∞ 4 k + 3 2 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! ] 2 {\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}\right]^{2}} e = − 12 π 2 [ ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 cos ( 9 k π + k 2 π 2 − 9 ) ] − 1 / 3 {\displaystyle e=-{\frac {12}{\pi ^{2}}}\left[\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\ \cos \left({\frac {9}{k\pi +{\sqrt {k^{2}\pi ^{2}-9}}}}\right)\right]^{-1/3}} e = ∑ k = 1 ∞ k 2 2 ( k ! ) {\displaystyle e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{2(k!)}}} e = ∑ k = 1 ∞ k 3 5 ( k ! ) {\displaystyle e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{3}}{5(k!)}}} e = ∑ k = 1 ∞ k n B n ( k ! ) {\displaystyle e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{n}}{B_{n}(k!)}}} （Bn は n 番目のベル数）
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級数による表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/14 15:01 UTC 版)
「フルヴィッツのゼータ函数」の記事における「級数による表現」の解説
ℜ q > 0 {\displaystyle \Re \,q>0} と s ≠ 1 {\displaystyle s\neq 1} である任意の複素数 (ただし ℜ q {\displaystyle \Re \,q} は q の実部を表す) で定義されるフルヴィッツのゼータ函数のニュートン級数（英語版）(Newton series) による表現は、1930年に ヘルムート・ハッセ (Helmut Hasse) により、 ζ ( s , q ) = 1 s − 1 ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1 ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( q + k ) 1 − s {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}} として与えられた。 この級数は、s-平面のコンパクトな部分集合の上で整函数へ均一に収束し、内部の和は q 1 − s {\displaystyle q^{1-s}} の n-次差分であると理解することができる。すなわち、 Δ n q 1 − s = ∑ k = 0 n ( − 1 ) n − k ( n k ) ( q + k ) 1 − s {\displaystyle \Delta ^{n}q^{1-s}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}} が成り立つ。ここに Δ は、差分作用素である。従って、次のように書くことができる。 ζ ( s , q ) = 1 s − 1 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n + 1 Δ n q 1 − s = 1 s − 1 log ( 1 + Δ ) Δ q 1 − s . {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s,q)&={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}q^{1-s}\\&={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }q^{1-s}.\end{aligned}}}
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