ニュートン級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/13 01:46 UTC 版)
ニュートン級数はニュートンの前進差分方程式の項からなる。これは本質的にニュートン補間公式であり、1687年に著書『プリンキピア・マスマティカ』において最初に公表された。具体的には、連続的なテイラー展開の離散版 f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ Δ k [ f ] ( a ) k ! ( x − a ) k = ∑ k = 0 ∞ ( x − a k ) Δ k [ f ] ( a ) {\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}(x-a)_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{x-a \choose k}~\Delta ^{k}[f](a)} が任意の多項式函数 f に対して成立する。これはさらに多くの（全てではない）解析函数でも成立する。ここで ( x k ) = ( x ) k k ! {\displaystyle {x \choose k}={\frac {(x)_{k}}{k!}}} は二項係数であり、 ( x ) k = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − k + 1 ) {\displaystyle (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)} は下降階乗（下方階乗）である（空積 (x)0 は 1 とする）。これは後述する一般化において、x の変化の歩み (step) が h = 1 であると仮定した特別の場合である。 この結果とテイラーの定理との形式的な対応に注意せよ。歴史的には、これとファンデルモンド恒等式（英語版） ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) ( x ) n − k ( y ) k {\displaystyle (x+y)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(x)_{n-k}~(y)_{k}} （二項定理に対応する）は、陰計算の体系に至る観察に含まれる。 p-進解析学において、マーラーの定理は f が多項式函数であるという仮定は単に連続であるという仮定に緩めることができることを述べる。 カールソンの定理（英語版）はニュートン級数が（存在すれば）一意であるための必要十分条件を与える。しかし一般にはニュートン級数の存在は保証されない。 ニュートン級数、スターリング補間多項式、セルバーグ多項式は、一般の差分多項式の特別の場合である。これらは全て適当にスケールされた前進差分の言葉で定義される。 In a compressed and slightly more general form and equidistant nodes the formula reads f ( x ) = ∑ k = 0 ( x − a h k ) ∑ j = 0 k ( − 1 ) k − j ( k j ) f ( a + j h ) . {\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}{{\frac {x-a}{h}} \choose k}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}f(a+jh).}
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