他の変換との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/23 08:07 UTC 版)
両側ラプラス変換は、メリン変換を用いて { B f } ( s ) = { M f ( − ln x ) } ( s ) {\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)} と表すことが出来る。反対に、メリン変換は両側ラプラス変換により { M f } ( s ) = { B f ( e − x ) } ( s ) {\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)} と表される。 メリン変換は、積分核 xs を用いた、加法的ハール測度 d x x {\displaystyle {\frac {dx}{x}}} についての積分と考えることが出来る。ここで d x x {\displaystyle {\frac {dx}{x}}} は拡張 x ↦ a x {\displaystyle x\mapsto ax} について不変であり、したがって d ( a x ) a x = d x x {\displaystyle {\frac {d(ax)}{ax}}={\frac {dx}{x}}} が成り立つ。一方、両側ラプラス変換は加法的ハール測度 d x {\displaystyle dx} についての積分と考えられる。ここで d x {\displaystyle dx} は移動不変であり、したがって d ( x + a ) = d x {\displaystyle d(x+a)=dx} が成り立つ。 同様にフーリエ変換もメリン変換を用いて表すことが出来、またその逆も出来る。もし両側ラプラス変換を上述のように定義するなら、 { F f } ( s ) = { B f } ( i s ) = { M f ( − ln x ) } ( i s ) {\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(is)} が成立する。反対に { M f } ( s ) = { B f ( e − x ) } ( s ) = { F f ( e − x ) } ( − i s ) {\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(-is)} も成立する。メリン変換はまた、ニュートン級数（英語版）や二項変換（英語版）を、ポアソン-メリン-ニュートン・サイクル（英語版）の意味におけるポアソン母関数（英語版）[要リンク修正]と結び付ける。
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