マーラーの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/04/29 15:51 UTC 版)
数学において、Kurt Mahler (1958) によって導入されたマーラーの定理（マーラーのていり、英: Mahler's theorem）とは、連続な p-進関数を多項式で表現することについて述べたものである。
と定める。このとき、多項式関数 f に対して、次のニュートン級数が得られる：
ただし
は k 番目の二項係数多項式である。
実数体上では、関数 f が多項式であるという仮定は弱められるが、単なる連続性の仮定のみでは上の等式は成り立たない。
マーラーの定理では、f が p-進整数上の連続な p-進値関数であるなら、その等式が成り立つと述べられている。
上述の作用素 Δ と多項式列との関係は、微分と xk を k 番目の項とする数列との関係と似ている。
驚くべきことは、連続性と同程度弱い仮定の下で、上述の等式が成り立つということである。それと比較して、複素数体上のニュートン級数ではより強い制限が必要となり、特にカールソンの定理の成立が必要となる。
f が標数 0 の任意の体内の係数を持つ多項式関数であるなら、上述の等式は右辺が有限の項の和として成立する。これは代数的事実の一つである。
参考文献
- Mahler, K. (1958), “An interpolation series for continuous functions of a p-adic variable”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 199: 23–34, ISSN 0075-4102, MR0095821
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