ニュートン級数を用いた表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/03/02 04:35 UTC 版)
「部分和分」の記事における「ニュートン級数を用いた表示」の解説
定和分に関する公式を少し違った形に書くことができる。即ち、部分和分の公式を繰り返し適用することにより、 ∑ k = 0 n f k g k = f 0 ∑ k = 0 n g k + ∑ j = 0 n − 1 ( f j + 1 − f j ) ∑ k = j + 1 n g k = f n ∑ k = 0 n g k − ∑ j = 0 n − 1 ( f j + 1 − f j ) ∑ k = 0 j g k , {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=f_{0}\sum _{k=0}^{n}g_{k}+\sum _{j=0}^{n-1}(f_{j+1}-f_{j})\sum _{k=j+1}^{n}g_{k}\\&=f_{n}\sum _{k=0}^{n}g_{k}-\sum _{j=0}^{n-1}\left(f_{j+1}-f_{j}\right)\sum _{k=0}^{j}g_{k},\end{aligned}}} ∑ k = 0 n f k g k = ∑ i = 0 M − 1 f 0 ( i ) G i ( i + 1 ) + ∑ j = 0 n − M f j ( M ) G j + M ( M ) = = ∑ i = 0 M − 1 ( − 1 ) i f n − i ( i ) G ~ n − i ( i + 1 ) + ( − 1 ) M ∑ j = 0 n − M f j ( M ) G ~ j ( M ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=\sum _{i=0}^{M-1}f_{0}^{(i)}G_{i}^{(i+1)}+\sum _{j=0}^{n-M}f_{j}^{(M)}G_{j+M}^{(M)}=\\&=\sum _{i=0}^{M-1}\left(-1\right)^{i}f_{n-i}^{(i)}{\tilde {G}}_{n-i}^{(i+1)}+\left(-1\right)^{M}\sum _{j=0}^{n-M}f_{j}^{(M)}{\tilde {G}}_{j}^{(M)}\end{aligned}}} が成り立つ（M = 1 とすると先の式）。ここで補助的に用いた数列 f(M)j はニュートン級数（英語版） f j ( M ) := ∑ k = 0 M ( − 1 ) M − k ( M k ) f j + k , {\displaystyle f_{j}^{(M)}:=\sum _{k=0}^{M}\left(-1\right)^{M-k}{M \choose k}f_{j+k},} G j ( M ) := ∑ k = j n ( k − j + M − 1 M − 1 ) g k , {\displaystyle G_{j}^{(M)}:=\sum _{k=j}^{n}{k-j+M-1 \choose M-1}g_{k},} G ~ j ( M ) := ∑ k = 0 j ( j − k + M − 1 M − 1 ) g k {\displaystyle {\tilde {G}}_{j}^{(M)}:=\sum _{k=0}^{j}{j-k+M-1 \choose M-1}g_{k}} である。ただし、 ( n k ) {\displaystyle \textstyle {n \choose k}} は二項係数。 特に M = n + 1 として得られる等式 ∑ k = 0 n f k g k = ∑ i = 0 n f 0 ( i ) G i ( i + 1 ) = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i f n − i ( i ) G ~ n − i ( i + 1 ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}=\sum _{i=0}^{n}f_{0}^{(i)}G_{i}^{(i+1)}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}f_{n-i}^{(i)}{\tilde {G}}_{n-i}^{(i+1)}} は有用なものとして著しい。
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