ローラン級数による評価
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/06 07:15 UTC 版)
「行列指数関数」の記事における「ローラン級数による評価」の解説
ケイリー・ハミルトンの定理を考えれば、n × n 行列乗はその行列の高々次数 n − 1 の多項式として表示できるはずである。 非零な一変数多項式 P および Qt は P(A) = 0 なるものとする。有理型函数 f ( z ) = e t z − Q t ( z ) P ( z ) {\displaystyle f(z)={\frac {e^{tz}-Q_{t}(z)}{P(z)}}} が整函数ならば e t A = Q t ( A ) {\displaystyle e^{tA}=Q_{t}(A)} が成り立つ。これを示すには上記等式において P(z) を掛けて z を A で置き換えればよい。 さてこのような多項式 Qt(z) は以下のように見つけることができる（シルベスターの公式（英語版）参照）。a は P の根として、 Qa,t(z) は P に f の a におけるローラン級数の主要部を掛けることで得られる。これは関連するフロベニウス共変行列（英語版）に比例する。a が P の根を亙るときの Qa,t 全ての和 St が所期の Qt として取れる。他全ての Qt は St(z) に P の定数倍を加えることで得られる。特に、ラグランジュ–シルヴェスター多項式 St(z) は P より次数が低くなる唯一の Qt である。
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