その他のヘーグナー数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/01 00:11 UTC 版)
「ヘーグナー数」の記事における「その他のヘーグナー数」の解説
大きい方から4つのヘーグナー数について、以下の近似が得られる 。 e π 19 ≈ 96 3 + 744 − 0.22 e π 43 ≈ 960 3 + 744 − 0.000 22 e π 67 ≈ 5 280 3 + 744 − 0.000 0013 e π 163 ≈ 640 320 3 + 744 − 0.000 000 000 000 75 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 96^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 960^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 5\,280^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640\,320^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}} あるいは、 e π 19 ≈ 12 3 ( 3 2 − 1 ) 3 + 744 − 0.22 e π 43 ≈ 12 3 ( 9 2 − 1 ) 3 + 744 − 0.000 22 e π 67 ≈ 12 3 ( 21 2 − 1 ) 3 + 744 − 0.000 0013 e π 163 ≈ 12 3 ( 231 2 − 1 ) 3 + 744 − 0.000 000 000 000 75 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}(3^{2}-1)^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}} ここで2乗の理由は、特定のアイゼンシュタイン級数によるものである。 d < 19 {\displaystyle d<19} のヘーグナー数についてはほとんど整数となる近似を得られず、 d = 19 {\displaystyle d=19} さえ注目に値しない。整数の j-不変量は細かく因数分解可能であるが、これは 12 3 ( n 2 − 1 ) 3 = ( 2 2 ⋅ 3 ⋅ ( n − 1 ) ⋅ ( n + 1 ) ) 3 {\displaystyle 12^{3}(n^{2}-1)^{3}=(2^{2}\cdot 3\cdot (n-1)\cdot (n+1))^{3}} ということに従う。素因数は以下のとおりである。 j ( ( 1 + − 19 ) / 2 ) = 96 3 = ( 2 5 ⋅ 3 ) 3 j ( ( 1 + − 43 ) / 2 ) = 960 3 = ( 2 6 ⋅ 3 ⋅ 5 ) 3 j ( ( 1 + − 67 ) / 2 ) = 5 280 3 = ( 2 5 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11 ) 3 j ( ( 1 + − 163 ) / 2 ) = 640 320 3 = ( 2 6 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 23 ⋅ 29 ) 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}j((1+{\sqrt {-19}})/2)&=96^{3}=(2^{5}\cdot 3)^{3}\\j((1+{\sqrt {-43}})/2)&=960^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5)^{3}\\j((1+{\sqrt {-67}})/2)&=5\,280^{3}=(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11)^{3}\\j((1+{\sqrt {-163}})/2)&=640\,320^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29)^{3}.\end{aligned}}} これらの超越数は、（単に次数 1 の代数的数である）整数によるよい近似のほかに、次数 3 の代数的数によってもよく近似できる。 e π 19 ≈ x 24 − 24.000 31 ; x 3 − 2 x − 2 = 0 e π 43 ≈ x 24 − 24.000 000 31 ; x 3 − 2 x 2 − 2 = 0 e π 67 ≈ x 24 − 24.000 000 001 9 ; x 3 − 2 x 2 − 2 x − 2 = 0 e π 163 ≈ x 24 − 24.000 000 000 000 0011 ; x 3 − 6 x 2 + 4 x − 2 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx x^{24}-24.000\,31;\ \ \qquad \qquad \qquad x^{3}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,31;\qquad \qquad \quad x^{3}-2x^{2}-2=0\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,001\,9;\qquad \qquad x^{3}-2x^{2}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,000\,000\,0011;\quad x^{3}-6x^{2}+4x-2=0\end{aligned}}} 3次式の根は、24番目の根を含むモジュラー関数であるデデキントのイータ関数 η(τ)の商によって正確に与えられ、これが近似における数値 24 の理由となる。また、次数4の代数的数によっても近似できる。 e π 19 ≈ 3 5 ( 3 − 2 ( 1 − 96 / 24 + 1 3 ⋅ 19 ) ) − 2 − 12.000 06 … e π 43 ≈ 3 5 ( 9 − 2 ( 1 − 960 / 24 + 7 3 ⋅ 43 ) ) − 2 − 12.000 000 061 … e π 67 ≈ 3 5 ( 21 − 2 ( 1 − 5 280 / 24 + 31 3 ⋅ 67 ) ) − 2 − 12.000 000 000 36 … e π 163 ≈ 3 5 ( 231 − 2 ( 1 − 640 320 / 24 + 2 413 3 ⋅ 163 ) ) − 2 − 12.000 000 000 000 000 21 … {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 3^{5}\left(3-{\sqrt {2(1-96/24+1{\sqrt {3\cdot 19}})}}\right)^{-2}-12.000\,06\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 3^{5}\left(9-{\sqrt {2(1-960/24+7{\sqrt {3\cdot 43}})}}\right)^{-2}-12.000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 3^{5}\left(21-{\sqrt {2(1-5\,280/24+31{\sqrt {3\cdot 67}})}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,36\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2(1-640\,320/24+2\,413{\sqrt {3\cdot 163}})}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \end{aligned}}} 括弧内の式を x {\displaystyle x} とおくと（例： x = 3 − 2 ( 1 − 96 / 24 + 1 3 ⋅ 19 ) {\displaystyle x=3-{\sqrt {2(1-96/24+1{\sqrt {3\cdot 19}})}}} ）、 x {\displaystyle x} はそれぞれ四次方程式を満たす。 x 4 − 4 ⋅ 3 x 3 + 2 3 ( 96 + 3 ) x 2 − 2 3 ⋅ 3 ( 96 − 6 ) x − 3 = 0 x 4 − 4 ⋅ 9 x 3 + 2 3 ( 960 + 3 ) x 2 − 2 3 ⋅ 9 ( 960 − 6 ) x − 3 = 0 x 4 − 4 ⋅ 21 x 3 + 2 3 ( 5 280 + 3 ) x 2 − 2 3 ⋅ 21 ( 5 280 − 6 ) x − 3 = 0 x 4 − 4 ⋅ 231 x 3 + 2 3 ( 640 320 + 3 ) x 2 − 2 3 ⋅ 231 ( 640 320 − 6 ) x − 3 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&x^{4}-4\cdot 3x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(96+3)x^{2}\qquad \quad -{\tfrac {2}{3}}\cdot 3(96-6)x-3=0\\&x^{4}-4\cdot 9x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(960+3)x^{2}\ \ \quad \quad -{\tfrac {2}{3}}\cdot 9(960-6)x-3=0\\&x^{4}-4\cdot 21x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(5\,280+3)x^{2}\quad \ \;-{\tfrac {2}{3}}\cdot 21(5\,280-6)x-3=0\\&x^{4}-4\cdot 231x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(640\,320+3)x^{2}-{\tfrac {2}{3}}\cdot 231(640\,320-6)x-3=0\\\end{aligned}}} 整数 n = 3 , 9 , 21 , 231 {\displaystyle n=3,9,21,231} の再出現と、以下の事実に注意せよ。 2 6 ⋅ 3 ( − ( 1 − 96 / 24 ) 2 + 1 2 ⋅ 3 ⋅ 19 ) = 96 2 2 6 ⋅ 3 ( − ( 1 − 960 / 24 ) 2 + 7 2 ⋅ 3 ⋅ 43 ) = 960 2 2 6 ⋅ 3 ( − ( 1 − 5 280 / 24 ) 2 + 31 2 ⋅ 3 ⋅ 67 ) = 5 280 2 2 6 ⋅ 3 ( − ( 1 − 640 320 / 24 ) 2 + 2413 2 ⋅ 3 ⋅ 163 ) = 640 320 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&2^{6}\cdot 3(-(1-96/24)^{2}+1^{2}\cdot 3\cdot 19)=96^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-960/24)^{2}+7^{2}\cdot 3\cdot 43)=960^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-5\,280/24)^{2}+31^{2}\cdot 3\cdot 67)=5\,280^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-640\,320/24)^{2}+2413^{2}\cdot 3\cdot 163)=640\,320^{2}\end{aligned}}} これは、適切な分数累乗を与えれば、正確に j-不変量である。 同様に、次数 6 の代数的数では以下のようになる。 e π 19 ≈ ( 5 x ) 3 − 6.000 010 … e π 43 ≈ ( 5 x ) 3 − 6.000 000 010 … e π 67 ≈ ( 5 x ) 3 − 6.000 000 000 061 … e π 163 ≈ ( 5 x ) 3 − 6.000 000 000 000 000 034 … {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}} ここで、x はそれぞれ六次式（英語版）の適切な根によって与えられる。 5 x 6 − 96 x 5 − 10 x 3 + 1 = 0 5 x 6 − 960 x 5 − 10 x 3 + 1 = 0 5 x 6 − 5 280 x 5 − 10 x 3 + 1 = 0 5 x 6 − 640 320 x 5 − 10 x 3 + 1 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&5x^{6}-96x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-960x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-5\,280x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-640\,320x^{5}-10x^{3}+1=0\end{aligned}}} ここで j-不変量が再び現れる。これらの六次方程式は代数的であるだけでなく、拡大体 Q ( 5 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})} の上で2つの三次式に因数分解される（最初の因数はさらに2つの二次式に分解できる）ので、冪根によって解ける。これらの代数的近似は、デデキント・イータ商で正確に表現できる。例として、 τ = ( 1 + − 163 ) / 2 {\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {-163}})/2} とすると、 e π 163 = ( e π i / 24 η ( τ ) η ( 2 τ ) ) 24 − 24.000 000 000 000 001 05 … e π 163 = ( e π i / 12 η ( τ ) η ( 3 τ ) ) 12 − 12.000 000 000 000 000 21 … e π 163 = ( e π i / 6 η ( τ ) η ( 5 τ ) ) 6 − 6.000 000 000 000 000 034 … {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/24}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24.000\,000\,000\,000\,001\,05\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/12}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/6}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}} ここで、イータ商は上記の代数的数である。
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