導関数の導入
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/02 17:04 UTC 版)
これまでの議論では、一点 p {\displaystyle {\textbf {p}}} を固定して、この点での微分可能性について議論してきた。本節では、領域全体での微分可能性について説明し、導関数を定義する。 D {\displaystyle {\textbf {D}}} を、 R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} の開集合とし、 f ( x 1 , , x n ) = ( f 1 ( x 1 , , x n ) ⋮ f m ( x 1 , , x n ) ) {\displaystyle \mathbf {f} ({{x}_{1}},,{{x}_{n}})=\left({\begin{matrix}{{f}_{1}}({{x}_{1}},,{{x}_{n}})\\{\vdots }\\{{f}_{m}}({{x}_{1}},,{{x}_{n}})\\\end{matrix}}\right)} (4-1) を、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} 上で定義され、 R m {\displaystyle {\mathbb {R} ^{m}}} に値を取る多変数ベクトル値関数とする。 a {\displaystyle {\textbf {a}}} を、 R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} の固定されたベクトルとする。（ a ∉ D {\displaystyle {\textbf {a}}\notin {\textbf {D}}} でもよい。）このとき、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、 a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能である」とは D {\displaystyle {\textbf {D}}} 内の全ての点において、(4-1)の意味で f {\displaystyle {\textbf {f}}} が a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能であることを意味する。このとき「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} の a {\displaystyle {\textbf {a}}} についての偏導関数 ∂ [ a ] f {\displaystyle {{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} } 」とは、「 D {\displaystyle {\textbf {D}}} の点 x {\displaystyle {\textbf {x}}} と x {\displaystyle {\textbf {x}}} における偏微分商 ∂ [ a ] f | x {\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} \right|}_{\textbf {x}}}} を対応させる多変数ベクトル値関数」のことである。つまり、 ∂ [ a ] f ( x ) = {\displaystyle {{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} ({\textbf {x}})=} ∂ [ a ] f | x {\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} \right|}_{\textbf {x}}}} (4-2) である。特に ∂ [ e j ] f ( x ) = {\displaystyle {{\partial }_{[\mathbf {e} _{j}]}}\mathbf {f} ({\textbf {x}})=} ( ∂ f ∂ x j ) ( x ) {\displaystyle \left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial {{x}_{j}}}}\right)({\textbf {x}})} (4-3) とする。 「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、微分可能である」とは、「 D {\displaystyle {\textbf {D}}} 内の全ての点において、(2-2)の意味で f {\displaystyle {\textbf {f}}} が微分可能」であることを意味する。 このとき「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} の D {\displaystyle {\textbf {D}}} における導関数 f ′ {\displaystyle {{\mathbf {f} }^{'}}} 」とは、「 D {\displaystyle {\textbf {D}}} の点 x {\displaystyle {\textbf {x}}} と x {\displaystyle {\textbf {x}}} における微分 ( J f ) [ x ] {\displaystyle {{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {x} ]}}} を対応させる行列値の関数」である。つまり、 f ′ ( x ) = {\displaystyle {\mathbf {f} }'(\mathbf {x} )=} ( J f ) [ x ] {\displaystyle {{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {x} ]}}} (4-4) である。 f ′ {\displaystyle {{\mathbf {f} }'}} のことを J f {\displaystyle J\mathbf {f} } や、 T f {\displaystyle T\mathbf {f} } と書くこともある。尚、「dfとヤコビ行列」で後述するように、 d f {\displaystyle d{\textbf {f}}} は、文脈によっては、(4-4)と同じ意味で使われる場合がある。 また、(4-5)から、直ちに「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、微分可能」ならば、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、任意の a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能」である。しかし、この逆は成り立たない。つまり、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、任意の a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能」であっても、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、微分可能」とは限らない。 「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、連続微分可能である」とは、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、 e 1 , ⋯ , e j ⋯ , e n {\displaystyle {{\mathbf {e} }_{1}},\ \cdots ,\ {{\mathbf {e} }_{j}}\cdots ,\ {{\mathbf {e} }_{n}}} 全てについて偏微分可能であり、かつ e 1 , ⋯ , e j ⋯ , e n {\displaystyle {{\mathbf {e} }_{1}},\ \cdots ,\ {{\mathbf {e} }_{j}}\cdots ,\ {{\mathbf {e} }_{n}}} についての偏導関数がすべて D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、連続であること」を意味する。 一見、連続微分可能性は、全微分可能性よりも弱い性質のように見えるが、実は連続微分可能性のほうが強い条件である。つまり「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、連続微分可能」ならば「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、微分可能」であるものの、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、微分可能」であっても、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、連続微分可能」とは限らない。 但し、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で微分可能であり、導関数が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、連続」ならば、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} は D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、連続微分可能」である。
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