導関数に定数となる領域がある例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/07 02:36 UTC 版)
「ルジャンドル変換」の記事における「導関数に定数となる領域がある例」の解説
f (x) がある区間で1次関数（直線）となる例を挙げる。 f ( x ) = { ( x 3 + x ) / 4 ( 0 < x < 1 ) , x − 1 / 2 ( 1 ≤ x < 2 ) , x 2 / 2 − x + 3 / 2 ( 2 ≤ x ) . {\displaystyle f(x)={\begin{cases}(x^{3}+x)/4&(0<x<1),\\x-1/2&(1\leq x<2),\\x^{2}/2-x+3/2&(2\leq x).\end{cases}}} 導関数 f '(x) が全領域で連続、かつ 1 < x < 2 で定数 f ' (x) = 1 であることに注意する。この関数のルジャンドル変換は p = 1 で折れ線となり、 f ∗ ( p ) = { 1 2 ( 4 p − 1 3 ) 3 / 2 ( 1 4 < p < 1 ) , 1 2 ( p 2 + 2 p − 2 ) ( 1 ≤ p ) {\displaystyle f^{*}(p)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left({\frac {4p-1}{3}}\right)^{3/2}&({\frac {1}{4}}<p<1),\\{\frac {1}{2}}(p^{2}+2p-2)&(1\leq p)\end{cases}}} となる。
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