導関数の定積分が区間の両端での関数値の差に等しいこと
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/21 13:56 UTC 版)
「微分積分学の基本定理」の記事における「導関数の定積分が区間の両端での関数値の差に等しいこと」の解説
微分積分学の第二基本定理 ― 区間 I {\displaystyle I} 上で微分可能な関数 F {\displaystyle F} について、その導関数 f = d F d x {\displaystyle f={\tfrac {dF}{dx}}} が積分可能であるとき、任意の a , b ∈ I {\displaystyle a,b\in I} に対して ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)} が成り立つ。 この定理は微分積分学の第二基本定理と呼ばれる。第二定理は、関数を微分して積分すると高々定数の差を除いて元の関数が現われることを主張する。 積分可能性に関して、通常はリーマン積分の意味で積分可能であることを要求するが、ルベーグ積分に対する基本定理も存在する（Rudin (1976, p. 324) を参照）。 f {\displaystyle f} が連続である場合に成り立つ次の系は、微分積分学の基本公式として知られる： 微分積分学の基本公式 ― 区間 I {\displaystyle I} 上で連続な関数 f {\displaystyle f} について、その原始関数の一つを F {\displaystyle F} として、 ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)} が成り立つ。 基本公式は原始関数の差として定積分を計算できることを主張する。第二定理と違い基本公式では被積分関数に連続性を課すが、第二定理は（積分可能であれば）不連続な関数に対しても成り立つ。
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