用いられる動的システムとは? わかりやすく解説

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用いられる動的システム

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/02/12 16:55 UTC 版)

カルマンフィルター」の記事における「用いられる動的システム」の解説

カルマンフィルター時間領域において、連続時間線形動的システムもしくは離散化された離散時間線型動的システム基づいて駆動する以降導入される解説は、後者立場のものである。それらはガウス白色雑音によって励振をうける線形演算子からなるマルコフ連鎖モデル表現される。より端的にいえば、システム状態空間モデル (state space model) で表現されるということである。 対象システム定義された「状態 (state)」は、そのシステム過去動特性遷移保持する役割果たし動特性遷移保持する線形空間状態空間として定義される。この空間実数空間であるため、システムの状態は一般に任意の次元状態空間含まれる実数ベクトルとして与えられる状態の変化は、現在の状態と、それに付加する雑音影響と、場合によってはシステムの状態の制御関与する既知制御入力線形結合によって記述される。したがって、状態はシステム因果性寄与する存在である。上記理念は、以下に記述する状態方程式 (state equation) によって表現される。状態が直接観測できない場合には、システム出力一般に態と観測雑音線形結合にて観測可能なものとして与えられる。この理念観測方程式 (observation equation) として、以下に示すような線形モデル表現されるカルマンフィルターは、直接システムの状態が観測できない問題対する状態推定法のひとつであるから一般的に観測方程式を伴う問題適用されるカルマンフィルター隠れマルコフモデル (hidden Markov model) の類似であると考えることができる。2者の主たる差異隠れマルコフモデルにおける状態変数が、連続であるか離散であるかである。また、隠れマルコフモデルでは状態変数未来へ変化任意の分布に従う形式統計的に与えることができる一方でカルマンフィルターでは、ガウス分布に従う雑音によって未来状態変数統計的に記述される点が異なっている。したがってカルマンフィルター隠れマルコフモデルの間には強固な双対性存在するちなみにカルマンフィルター導出過程においては、「システム付随する雑音性質ガウス分布に従う」という仮定の下に行われるのが一般的であるが、雑音性質ガウス分布従わない場合であってもカルマンフィルター線形クラスにおける最適推定値、すなわち線形最小分散推定値を導くことができる点で、汎用性富んでいるといえる唯一観測可能である、雑音影響受けた出力過程基づいて制御問題においては入力観測可能な過程となる)、カルマンフィルター用いてシステムの状態を推定するためには、対象システムに対してカルマンフィルター理念合致するような状態の遷移(すなわち状態過程に関するモデル与えなければならない。これは、時変 (time-variant) な行F k {\displaystyle F_{k}} , G k {\displaystyle G_{k}} , H k {\displaystyle H_{k}} , Q k {\displaystyle Q_{k}} , R k {\displaystyle R_{k}} によって特徴付けられる線形方程式として、以下で与えられる。これが状態方程式である。 時刻 k {\displaystyle k} における真のシステムの状態は、1ステップ前の時刻 ( k − 1 ) {\displaystyle (k-1)} の状態をもとに、次のように表現されるx k = F k x k − 1 + u k + G k w k {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k}=F_{k}{\boldsymbol {x}}_{k-1}+{\boldsymbol {u}}_{k}+G_{k}{\boldsymbol {w}}_{k}} ここに、 F k {\displaystyle F_{k}} は、システム時間遷移に関する線形モデルu k {\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{k}} は制御入力G k {\displaystyle G_{k}} は時間遷移に関する雑音 (process noise) モデル行列で、 w k {\displaystyle {\boldsymbol {w}}_{k}} はその雑音で、共分散行列 Q k {\displaystyle Q_{k}} かつ平均多変正規分布に従う。 w k ∼ N ( 0 , Q k ) {\displaystyle {\boldsymbol {w}}_{k}\sim N(0,Q_{k})} これがシステムの状態の遷移記述する状態方程式である。 ある時刻 k {\displaystyle k} において、観測量測定量) z k {\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{k}} は、真の(すなわち観測不可能な)状態 x k {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k}} と、以下のような関係にある。 z k = H k x k + v k {\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{k}=H_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}+{\boldsymbol {v}}_{k}} ここに、 H k {\displaystyle H_{k}} は状態空間観測空間線形写像する役割を担う観測モデルで、 v k {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{k}} は、共分散行列 R k {\displaystyle R_{k}} かつ平均多変正規ガウス分布に従うような雑音である(観測雑音 (observation noise) )。これが観測方程式である。 v k ∼ N ( 0 , R k ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{k}\sim N(0,R_{k})} システム初期条件雑音 { x 0 , w 1 , . . . , w k , v 1 , . . . , v k } {\displaystyle \{{\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {w}}_{1},...,{\boldsymbol {w}}_{k},{\boldsymbol {v}}_{1},...,{\boldsymbol {v}}_{k}\}} は、互いに統計的に独立であると仮定する状態方程式観測方程式合わせて状態空間モデルという。上記状態空間モデル時変システム表現しているが、限定的な場合として添字が k {\displaystyle k} の行列定数考えることにより、時不変システム (time-invariant) を表現できる多く実動システムでは、上記のような状態空間モデル厳密に適合しないが、カルマンフィルター雑音影響加味し上で設計されているがゆえに、上記モデル対象システム近似的に適合するものと考えられ、これが理由カルマンフィルター十分な有用性認められている。カルマンフィルター洗練された様々な拡張なされており、それは以降述べられる

※この「用いられる動的システム」の解説は、「カルマンフィルター」の解説の一部です。
「用いられる動的システム」を含む「カルマンフィルター」の記事については、「カルマンフィルター」の概要を参照ください。

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