ガウス‐ぶんぷ【ガウス分布】
正規分布
 | この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 (2016年4月) |
| 確率密度関数  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 累積分布関数  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 母数 |  また、多変量の統計として共分散まで込めた多次元の正規分布も定義され、平均 μ = (μ1, μ2, …, μn) の n 次元正規分布の同時密度関数は次の式で与えられる。
| 出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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- ハラルド・クラメール (1946). Mathematical Methods of Statistics. Princeton Mathematical Series. 9. Princeton University Press. MR0016588. Zbl 0063.01014 (Review by W. Feller)
- 稲垣宣生『数理統計学』裳華房、1990年。ISBN 4-7853-1406-0。
- JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語, 日本規格協会
- Stigler, Stephen M. (1986). The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900. The Belknap Press of Harvard University Press. ISBN 0-674-40340-1. MR0852410. Zbl 0656.62005
- 日本数学会 編『岩波 数学辞典』（第4版）岩波書店、2007年。ISBN 978-4-00-080309-0。
- 成実清松、坂井忠次『数理統計学要説』培風館、1952年。doi:10.11501/1371195。NDLJP:1371195。
関連項目
外部リンク
- 正規分布表 (PDF) —— 脇本和昌『身近なデータによる統計解析入門』森北出版、1973年。ISBN 4627090307。 付表
- 『正規分布』 - コトバンク
| 離散単変量で 有限台 | |
|---|---|
| 離散単変量で 無限台 | |
| 連続単変量で 有界区間に台を持つ | |
| 連続単変量で 半無限区間に台を持つ |
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| 連続単変量で 実数直線全体に台を持つ | |
| 連続単変量で タイプの変わる台を持つ | |
| 混連続-離散単変量 |
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| 多変量 (結合) | |
| 方向 |
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| 退化と特異 |
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| 族 |
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| サンプリング法 |
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| 標本調査 | |||||||||||||||
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| 記述統計学 |
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| 推計統計学 |
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| ベイズ統計学 |
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| 相関 | |||||||||||||||
| モデル | |||||||||||||||
| 回帰 |
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| 分類 |
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| 教師なし学習 |
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ガウス分布
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/23 08:42 UTC 版)
ガウス分布を使うことで、もう少しいい微小面分布のモデルを作ることができる。ハイライトの輝度は以下の関数を使うことで計算できる。 k s p e c = e − ( ∠ ( N , H ) m ) 2 {\displaystyle k_{spec}=e^{-\left({\frac {\angle (N,H)}{m}}\right)^{2}}} ここで、mは０から１の間の定数で、表面の外見的ななめらかさを表す。
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ガウス分布
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/13 22:25 UTC 版)
確率密度関数が p ( x ) = 1 2 π σ exp ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) {\displaystyle p(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)} で与えられるガウス分布において、キュムラント母関数は log M ( s ) = μ s + σ 2 2 ! s 2 {\displaystyle \log {M(s)}=\mu s+{\frac {\sigma ^{2}}{2!}}s^{2}} であり、キュムラントは c 1 = μ c 2 = σ 2 c n = 0 n = 3 , 4 , … {\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=\mu \\c_{2}&=\sigma ^{2}\\c_{n}&=0\quad n=3,4,\dots \end{aligned}}} となる。このように三次以上の高次のキュムラントが全て０になるのが、ガウス分布の特徴である。
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ガウス分布（平均について）
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/18 11:23 UTC 版)
「ジェフリーズ事前分布」の記事における「ガウス分布（平均について）」の解説
以下の実数値 x {\displaystyle x} の正規分布を考える： f ( x ∣ μ ) = e − ( x − μ ) 2 / 2 σ 2 2 π σ 2 {\displaystyle f(x\mid \mu )={\frac {e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}} σ {\displaystyle \sigma } を固定した時、 平均 μ {\displaystyle \mu } についてのジェフリーズ事前分布は p ( μ ) ∝ I ( μ ) = E [ ( d d μ log f ( x ∣ μ ) ) 2 ] = E [ ( x − μ σ 2 ) 2 ] = ∫ − ∞ + ∞ f ( x ∣ μ ) ( x − μ σ 2 ) 2 d x = 1 / σ 2 ∝ 1. {\displaystyle {\begin{aligned}p(\mu )&\propto {\sqrt {I(\mu )}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {d}{d\mu }}\log f(x\mid \mu )\right)^{2}\right]}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {x-\mu }{\sigma ^{2}}}\right)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }f(x\mid \mu )\left({\frac {x-\mu }{\sigma ^{2}}}\right)^{2}dx}}={\sqrt {1/\sigma ^{2}}}\propto 1.\end{aligned}}} つまり、ジェフリーズ事前分布は μ {\displaystyle \mu } に依存しない。これは、実数直線上の正規化されていない一様分布であり、すべての点で1（または定数）の分布である。これは不適切な事前分布（英語版）であり、定数を選択する自由度を除き、実数直線上での一意な並進不変分布（実数の加算に関するハール測度）である。このとき、平均は位置の測度に対応し、並進不変性は場所に関する情報がないことに対応する。
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ガウス分布（標準偏差について）
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/18 11:23 UTC 版)
「ジェフリーズ事前分布」の記事における「ガウス分布（標準偏差について）」の解説
以下の実数値 x {\displaystyle x} の正規分布を考える： f ( x ∣ σ ) = e − ( x − μ ) 2 / 2 σ 2 2 π σ 2 , {\displaystyle f(x\mid \sigma )={\frac {e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}},} μ {\displaystyle \mu } を固定した時、標準偏差 σ > 0 {\displaystyle \sigma >0} についてのジェフリーズ事前分布は p ( σ ) ∝ I ( σ ) = E [ ( d d σ log f ( x ∣ σ ) ) 2 ] = E [ ( ( x − μ ) 2 − σ 2 σ 3 ) 2 ] = ∫ − ∞ + ∞ f ( x ∣ σ ) ( ( x − μ ) 2 − σ 2 σ 3 ) 2 d x = 2 σ 2 ∝ 1 σ . {\displaystyle {\begin{aligned}p(\sigma )&\propto {\sqrt {I(\sigma )}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {d}{d\sigma }}\log f(x\mid \sigma )\right)^{2}\right]}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{3}}}\right)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }f(x\mid \sigma )\left({\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{3}}}\right)^{2}dx}}={\sqrt {\frac {2}{\sigma ^{2}}}}\propto {\frac {1}{\sigma }}.\end{aligned}}} 同等に、 log σ = ∫ d σ / σ {\textstyle \log \sigma =\int d\sigma /\sigma } に対してのジェフリーズ事前分布は実数直線上の正規化されていない一様分布であり、この分布はlogarithmic priorとして知られる。同様に、ジェフリーズ事前分布は log σ 2 = 2 log σ {\displaystyle \log \sigma ^{2}=2\log \sigma } に対して一様でもある。これは（乗算の自由度を除き）、スケール不変（正の実数の乗算に関するハール測度）である、一意な事前分布であり、標準偏差は対応するスケールの測度に対応し、スケール不変性はスケールに関する情報がないことに対応する。実数上の一様分布と同様に、これは不適切な事前分布（英語版）である。
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