68–95–99.7則

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68–95–99.7則

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/04/07 13:55 UTC 版)

正規分布近似において平均から1σ（プラスマイナス標準偏差）範囲には約68%の要素が含まれ、2σ範囲には約95%、3σ範囲には約 99.7%が含まれる。図内のパーセンテージは丸められた値である。

標準化した残差z（横軸）と、事象が生じる間隔の期待値（縦軸・対数軸）。

統計学における68–95–99.7則（英: 68–95–99.7 rule）とは、正規分布において、平均値を中心とした標準偏差の2倍、4倍、6倍の幅に入るデータの割合の簡略表現である。より正確には、68.27%、95.45%、 99.73%である。

数学的には、平均 μ で標準偏差 σ の正規分布に従う確率変数 X は以下の式に従うことが述べられている。

${\begin{aligned}\Pr(\mu -\;\,\sigma \leq X\leq \mu +\;\,\sigma )&\approx 0.6827\\\Pr(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )&\approx 0.9545\\\Pr(\mu -3\sigma \leq X\leq \mu +3\sigma )&\approx 0.9973\end{aligned}}$

平均が0、標準偏差が1である正規分布の累積分布関数

“68%, 95%, 99.7%” は標準正規分布の累積分布関数に由来している。

任意の標準化変量z の予測区間は、(1−(1−Φ_µ,σ²(z))·2)に対応する。

例えば2σを考えると、Φ(2) ≈ 0.9772もしくはPr(X ≤ μ + 2σ) ≈ 0.9772は、観測値が μ + 2σ 以下である確率に対応し、さらに観測値が平均値から±2σの範囲に含まれる確率は（丸め誤差を含むが）、(1 − (1 − 0.97725)·2) = 0.9545 = 95.45%に対応する。別の表記を用いると

$\Pr(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )=\Phi (2)-\Phi (-2)\approx 0.9772-(1-0.9772)\approx 0.9545$