ガウス・ルジャンドル公式による求積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/04 17:10 UTC 版)
「ガウス求積」の記事における「ガウス・ルジャンドル公式による求積」の解説
上述のように n 次のこの方法には、n 次のルジャンドル多項式 Pn(x) が対応している。このときの n 次多項式は Pn(1) = 1 となるよう正規化され、i 番目のガウスノード xi は i 番目の Pn の根である。重みは次の式で与えられる。 w i = 2 ( 1 − x i 2 ) [ P n ′ ( x i ) ] 2 . {\displaystyle w_{i}={\frac {2}{\left(1-x_{i}^{2}\right)[P'_{n}(x_{i})]^{2}}}.} 低次の求積法は次のようになる。 点の個数 n点 xi重み wi1 0 2 2 ± 1 / 3 {\displaystyle \pm {\sqrt {1/3}}} 1 3 0 8/9 ± 3 / 5 {\displaystyle \pm {\sqrt {3/5}}} 5/9 4 ± ( 3 − 2 6 / 5 ) / 7 {\displaystyle \pm {\sqrt {{\Big (}3-2{\sqrt {6/5}}{\Big )}/7}}} 18 + 30 36 {\displaystyle {\tfrac {18+{\sqrt {30}}}{36}}} ± ( 3 + 2 6 / 5 ) / 7 {\displaystyle \pm {\sqrt {{\Big (}3+2{\sqrt {6/5}}{\Big )}/7}}} 18 − 30 36 {\displaystyle {\tfrac {18-{\sqrt {30}}}{36}}} 5 0 128/225 ± 1 3 5 − 2 10 / 7 {\displaystyle \pm {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {10/7}}}}} 322 + 13 70 900 {\displaystyle {\tfrac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}} ± 1 3 5 + 2 10 / 7 {\displaystyle \pm {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {10/7}}}}} 322 − 13 70 900 {\displaystyle {\tfrac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}}
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