非縮退バンドの式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/31 13:54 UTC 版)
k = 0で極値をとり、スピン軌道相互作用がない非縮退バンド（k = 0で他のバンドとは異なるエネルギーを持つバンド）に対して、k·p摂動論の結果は、（最小の非自明な次数まで） u n , k = u n , 0 + ℏ m ∑ n ′ ≠ n ⟨ u n , 0 | k ⋅ p | u n ′ , 0 ⟩ E n , 0 − E n ′ , 0 u n ′ , 0 {\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }=u_{n,0}+{\frac {\hbar }{m}}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }{E_{n,0}-E_{n',0}}}u_{n',0}} E n , k = E n , 0 + ℏ 2 k 2 2 m + ℏ 2 m 2 ∑ n ′ ≠ n | ⟨ u n , 0 | k ⋅ p | u n ′ , 0 ⟩ | 2 E n , 0 − E n ′ , 0 {\displaystyle E_{n,\mathbf {k} }=E_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle |^{2}}{E_{n,0}-E_{n',0}}}} となる。kは（複雑な線形演算子のベクトルではなく）実数のベクトルであるため、これらの式の行列要素は次のように書き換えられる。 ⟨ u n , 0 | k ⋅ p | u n ′ , 0 ⟩ = k ⋅ ⟨ u n , 0 | p | u n ′ , 0 ⟩ {\displaystyle \langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle =\mathbf {k} \cdot \langle u_{n,0}|\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle } したがって、いくつかの未知のパラメータEn,0 and ⟨ u n , 0 | p | u n ′ , 0 ⟩ {\displaystyle \langle u_{n,0}|\mathbf {p} |u_{n',0}\rangle } のみを用いて任意のkでエネルギーを計算できる。後者は「光学行列要素」と呼ばれ、遷移双極子モーメントと密接に関係している。これらのパラメータは普通実験データから推測される。 実際には、nの合計は最も近い1もしくは2のバンドのみが含まれることがしばしばである（これらは（分母により）最も重要となる傾向がある）。しかし、特に大きいkで精度を上げるには、上で説明したものよりも多くのバンドを含める必要がある。
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