ハーン-バナッハの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/05/04 13:24 UTC 版)
数学におけるハーン-バナッハの定理（ハーン-バナッハのていり、英: Hahn-Banach theorem）は、関数解析学の分野における中心的な道具で、ベクトル空間の部分空間上で定義される有界線形汎関数が全空間への拡張できることについて述べたものである。これにより、どのようなノルム線形空間においても、その上で定義される連続線形汎関数が、双対空間の研究を「面白い」ものにするに「十分」なほどたくさんあることがわかる。ハーン-バナッハの定理の別形態のものとして、ハーン-バナッハの分離定理あるいは分離超平面定理と呼ばれるものがあり、凸幾何学の分野で多く用いられている。
- ^ ある区間 [a, b] 上の連続関数からなる空間C[a, b] の場合。
- ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “ハーン-バナッハの定理”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
- ^ リースの拡張定理を参照されたい。Gȧrding, L. (1970). "Marcel Riesz in memoriam". Acta Math. 124 (1): I–XI. MR 0256837.によれば、1918年にはすでにリースはこの定理の内容について知っていたとされる。
- ^ Gabriel Nagy, Real Analysis lecture notes
- ^ Harvey, R.; Lawson, H. B. (1983). "An intrinsic characterisation of Kahler manifolds". Invent. Math 74 (2): 169–198. doi:10.1007/BF01394312.
- ^ Pincus, D. (1974). “The strength of Hahn–Banach's Theorem”. Victoria Symposium on Non-standard Analysis. Lecture notes in Math.. 369. New York: Springer. pp. 203–248. ISBN 0-387-06656-X. Citation from Foreman, M.; Wehrung, F. (1991). "The Hahn–Banach theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set". Fundamenta Mathematicae 138: 13–19.
- ^ Brown, D. K.; Simpson, S. G. (1986). "Which set existence axioms are needed to prove the separable Hahn–Banach theorem?". Annals of Pure and Applied Logic 31: 123–144. doi:10.1016/0168-0072(86)90066-7. Source of citation.
- 1 ハーン-バナッハの定理とは
- 2 ハーン-バナッハの定理の概要
- 3 ハーン-バナッハの分離定理
- 4 関連項目
ハーン–バナッハの定理
(ハーン＝バナッハの定理 から転送)
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数学におけるハーン–バナッハの定理（ハーン–バナッハのていり、英: Hahn–Banach theorem）は、関数解析学の分野における中心的な道具で、ベクトル空間の部分空間上で定義される有界線形汎関数が全空間へ拡張できることについて述べたものである。これにより、どのようなノルム線形空間においても、その上で定義される連続線形汎関数が、双対空間の研究を「面白い」ものにするに「十分」なほどたくさんあることがわかる。ハーン-バナッハの定理の別形態のものとして、ハーン–バナッハの分離定理あるいは分離超平面定理と呼ばれるものがあり、凸幾何学の分野で多く用いられている。
- ^ ある区間 [a, b] 上の連続関数からなる空間C[a, b] の場合。
- ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “ハーン–バナッハの定理”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
- ^ リースの拡張定理を参照されたい。Gȧrding, L. (1970). “Marcel Riesz in memoriam”. Acta Math. 124 (1): I–XI. MR0256837.によれば、1918年にはすでにリースはこの定理の内容について知っていたとされる。
- ^ Gabriel Nagy, Real Analysis lecture notes
- ^ Harvey, R.; Lawson, H. B. (1983). “An intrinsic characterisation of Kahler manifolds”. Invent. Math 74 (2): 169–198. doi:10.1007/BF01394312.
- ^ Pincus, D. (1974). “The strength of Hahn–Banach's Theorem”. Victoria Symposium on Non-standard Analysis. Lecture notes in Math.. 369. New York: Springer. pp. 203–248. ISBN 0-387-06656-X Citation from Foreman, M.; Wehrung, F. (1991). “The Hahn–Banach theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set”. Fundamenta Mathematicae 138: 13–19.
- ^ Brown, D. K.; Simpson, S. G. (1986). “Which set existence axioms are needed to prove the separable Hahn–Banach theorem?”. Annals of Pure and Applied Logic 31: 123–144. doi:10.1016/0168-0072(86)90066-7. Source of citation.
- 1 ハーン–バナッハの定理とは
- 2 ハーン–バナッハの定理の概要
- 3 ハーン–バナッハの分離定理
- 4 関連項目
ハーン＝バナッハの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/27 06:04 UTC 版)
「連続線型拡張」の記事における「ハーン＝バナッハの定理」の解説
上述の定理によって、有界線型変換 T : S → Y {\displaystyle T:S\rightarrow Y} を、「 S {\displaystyle S} が X {\displaystyle X} において稠密であるなら」、 S ¯ = X {\displaystyle {\bar {S}}=X} から Y {\displaystyle Y} へのある有界線型変換へと拡張することが出来た。 S {\displaystyle S} が X {\displaystyle X} において稠密でない場合、ハーン＝バナッハの定理を使うことで、ある拡張が存在することを示すことが出来る場合もある。しかし、そのような拡張は必ずしも一意ではない。
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