数学の関数解析学の分野における連続線型拡張(れんぞくせんけいかくちょう、英: continuous linear extension)とは、次に述べる手順のことを指す:
完備なノルム線型空間
上にある線型変換を定義する時、初めに
内の稠密な部分集合上に線型変換
を定義し、その後、後述の定理によって、
を全空間へと拡張することが便利となることが、しばしばある。この結果として得られる拡張は線型かつ有界(したがって、連続)である。
定理
以下のBLT定理が知られている。なお「BLT定理」という名称は有界線型変換(Bounded Linear Transformation)による。
定理の後半のノルムに関する部分は前半から明らかに従う。
応用
一例として、リーマン積分の定義について考える。ある閉区間
上の階段関数は、次の形式で記述される:
ここで
は実数であり、
とし、
は集合
の指示関数を表す。
上のすべての階段関数からなる空間に
ノルム(Lp空間を参照)を備えたものはノルム線型空間であり、ここではそれを
と表す。階段関数の積分を、次のように定義する:
このとき、関数としての
は、
から
への有界線型変換である[注釈 1]。
ノルムについて右側連続であるような、
上の区分的連続かつ有界関数からなる空間を、
で表す。上述の空間
は、
において稠密であるため、BLT定理を応用することが出来る。結果として線型変換
は、
から
への有界線型変換
へと拡張される。これにより、
内のすべての関数についてリーマン積分を定義することが出来る。すなわち、すべての
に対して、そのリーマン積分は
で定義される。
ハーン=バナッハの定理
上述の定理によって、有界線型変換
を、「
が
において稠密であるなら」、
から
へのある有界線型変換へと拡張することが出来た。
が
において稠密でない場合、ハーン=バナッハの定理を使うことで、ある拡張が存在することを示すことが出来る場合もある。しかし、そのような拡張は必ずしも一意ではない。
脚注
- ^ ここで、
もノルム線型空間であることに注意されたい。実際、
は線型空間の公理を満たすことから線型空間であり、そのノルムは絶対値によって定めることが出来る。
参考文献
- Reed, Michael; Barry Simon (1980). Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-585050-6