連続的埋め込み

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連続的埋め込み

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/10/12 14:56 UTC 版)

数学において、あるノルム線型空間が他のノルム線型空間の連続的埋め込み（れんぞくてきうめこみ、英: continuous embedding）であるとは、それらの間の包含函数が連続であることを言う。ある意味、それらの二つのノルムは、同一の空間上でいずれも定義されないとしても「ほとんど同じ」ものである。ソボレフ埋蔵定理の内のいくつかは、連続的埋め込みの定理である。

定義

X および Y を二つのノルム線型空間とし、それらのノルムはそれぞれ ‖ • ‖_X および ‖ • ‖_Y とする。また X ⊆ Y が成立するものとする。包含写像 i: X ↪ Y; x ↦ x が連続、すなわち定数 C ≥ 0 が存在して

$\|x\|_{Y}\leq C\|x\|_{X}\quad (\forall x\in X)$