ノルム空間以外での不連続性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/14 15:53 UTC 版)
「不連続線型写像」の記事における「ノルム空間以外での不連続性」の解説
ノルム空間上の不連続線型写像の存在性についての論法は、任意の距離化可能位相線型空間、特に任意のフレシェ空間に対して一般化することができるが、任意の汎函数が連続となる無限次元局所凸位相線型空間というものが存在する。他方、任意の局所凸空間に適用できるハーン-バナッハの定理は、多くの連続線型汎函数が存在して、双対空間が十分に大きいことを保証する。実は、任意の凸集合に対し、そのミンコフスキー汎函数は連続線型汎函数に対応する。 結論として、凸集合が少ない空間は汎函数も少なく、最悪の場合には零汎函数以外に汎函数を全く持たないこともあり得る。0 < p < 1 に対する Lp-空間 Lp(R, dx) の場合がそうで、この空間は非凸である。ここでは実数直線上のルベーグ測度 dx を考えていることに注意せよ、そうでない場合に 0 < p < 1 なる Lp-空間が非自明な双対空間を持つことがある。 もう一つの同様の例として、単位区間上の実数値可測函数全体の成す空間に準ノルム ∥ f ∥ = ∫ I | f ( x ) | 1 + | f ( x ) | d x {\displaystyle \|f\|=\int _{I}{\frac {|f(x)|}{1+|f(x)|}}dx} を与えたものは、自明な双対空間を持つ非局所凸空間である。 もっと一般の空間を想定することもできる。例えば、完備可分距離位相群の間の準同型写像の存在性は非構成的に示すことができる。
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