ノルム空間および内積空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/22 00:46 UTC 版)
「ベクトル空間」の記事における「ノルム空間および内積空間」の解説
詳細は「ノルム線型空間」および「内積空間」を参照 ベクトルの「測度」は、ベクトルの長さを測るノルムや、ベクトルの間の角を測る内積を決めることによって与えられる。ここではノルムおよび内積をそれぞれ |v| および ⟨v, w⟩ のように表す。内積の情報はベクトルの長さを定められることも含んでいて、付随するノルムが | v | := ⟨ v , v ⟩ {\displaystyle |\mathbf {v} |:={\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}} で与えられる。これらの情報が与えられたベクトル空間はそれぞれ、ノルム空間および内積空間と呼ばれる。 数ベクトル空間 Fn は標準内積 x ⋅ y = x 1 y 1 + ⋯ + x n y n {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}} を備えている。これは R2 においてよくある二つのベクトル x, y の成す角 θ の概念を余弦定理 x ⋅ y = | x | | y | cos ( θ ) {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =|\mathbf {x} |\,|\mathbf {y} |\,\cos(\theta )} によって反映するものである。これにより、x · y = 0 を満たす二つのベクトル x, y は互いに直交すると言われる。この標準内積の重要な変形版として、ミンコフスキー空間 R4 = R3,1 はローレンツ積 ⟨ x ∣ y ⟩ = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 − x 4 y 4 {\displaystyle \langle \mathbf {x} \mid \mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}} を備える。標準内積との大きな違いは、ローレンツ積が正定値でないこと、つまり ⟨x|x⟩ は負の値を取り得る（例えば x = (0,0,0,1) のとき）ことである。（三つの空間的な座標とは異なり、時間に対応する）第四の座標を考えることは特殊相対論の数学的取扱いにおいて有効である。
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