ノルム空間の有限直積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:16 UTC 版)
「ノルム線型空間」の記事における「ノルム空間の有限直積」の解説
n 個の半ノルム空間 (Xi, qi) が与えられたとき、ノルム空間としての直積空間は、ベクトル空間としては X := ∏ i = 1 n X i = X 1 × X 2 × ⋯ × X n {\displaystyle X:=\prod _{i=1}^{n}X_{i}=X_{1}\times X_{2}\times \dotsb \times X_{n}} ( x 1 , … , x n ) + ( y 1 , … , y n ) := ( x 1 + y 1 , … , x n + y n ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})+(y_{1},\ldots ,y_{n}):=(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})} α ( x 1 , … , x n ) := ( α x 1 , … , α x n ) {\displaystyle \alpha (x_{1},\ldots ,x_{n}):=(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n})} q : X → R {\displaystyle q\colon X\to \mathbb {R} } q : ( x 1 , … , x n ) ↦ ∑ i = 1 n q i ( x i ) {\displaystyle q\colon (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto \sum _{i=1}^{n}q_{i}(x_{i})} . と定めれば、この q は X 上の半ノルムとなる。これがノルムとなるための必要十分条件は、任意の qi がノルムとなることである。 より一般に、任意の実数 p ≥ 1 に対して半ノルム q : ( x 1 , … , x n ) → ( ∑ i = 1 n q i ( x i ) p ) 1 / p {\displaystyle q\colon (x_{1},\ldots ,x_{n})\to {\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}q_{i}(x_{i})^{p}{\Bigr )}^{1/p}} を得ることができる。どの p についてもこの半ノルムから得られる位相空間は同じである。 初等的な線型代数学の直接的な議論により、自明な半ノルムを備えたノルム空間の直積空間として生じるノルム空間は有限次元半ノルム空間に限ることが示せる。その帰結として、半ノルム空間のより興味深い例や応用の多くは無限次元線型空間に対して起きる。
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