ノルム・アーベル群の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 07:17 UTC 版)
「絶対収束」の記事における「ノルム・アーベル群の場合」の解説
各項 an が任意の位相アーベル群の要素であるような列に対して、級数 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} を考えることができる。 アーベル群 G 上で定義された非負実数値関数 x ↦ ‖ x ‖ が次の条件 x が G の単位元 0 であるとき、かつそのときに限り ‖ x ‖ = 0, 全ての x ∈ G について ‖ x ‖ = ‖ −x ‖, 全ての x, y ∈ G について ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ を満たすとき、‖ x ‖ はノルムと呼ばれる。このとき d(x, y) := ‖ x − y ‖ は G に距離空間の構造（とくに位相）を導く。 これにより、G-値級数は ∑ n = 0 ∞ ‖ a n ‖ < ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty } であるとき、絶対収束すると定義する。 とくに、実または複素級数の場合には、絶対値 |•| をノルムとして、これらの主張がすべて満たされている。
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