ノルムの同値性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/08 06:25 UTC 版)
空間 X の与えられた二つのノルム‖•‖, ‖•‖′ に対し、これらノルムがそれぞれ定める X の位相が相等しいとき、これらのノルムは互いに同値であるという。これは適当な定数 C1, C2 > 0 で C 1 ‖ x ‖ ≤ ‖ x ‖ ′ ≤ C 2 ‖ x ‖ {\displaystyle C_{1}\|x\|\leq \|x\|'\leq C_{2}\|x\|} となるようなものが取れることと同値である。 V が有限次元ノルム空間ならば、V 上のノルムの同値類は唯一つである。
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ノルムの同値性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/14 05:30 UTC 版)
有限次元ベクトル空間 Km×n の任意の2つの（ベクトルとしての）ノルム ‖ • ‖α, ‖ • ‖β に対して、適当な定数 r, s > 0 をとれば r ‖ A ‖ α ≤ ‖ A ‖ β ≤ s ‖ A ‖ α {\displaystyle r\left\|A\right\|_{\alpha }\leq \left\|A\right\|_{\beta }\leq s\left\|A\right\|_{\alpha }} が任意の行列 A ∈ Km×n に対して成立するようにできる。言い換えれば、このようなノルムはどれも同値 (equivalent) なノルムであり、空間 Km×n に同じ位相を誘導する。 さらに実行列 A ∈ Rn×n の場合、任意のノルム ‖ • ‖ に対し一意な正の定数 k が存在して、k‖ A ‖ が（劣乗法的な）行列ノルムになる。 行列ノルム ‖ • ‖p は、他のいかなる行列ノルム ‖ • ‖q も ‖ • ‖q ≤ ‖ • ‖p を満たさないとき、極小（英: minimal）であると呼ばれる。
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