ノルムの定める距離
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/18 09:47 UTC 版)
与えられたノルム空間 (X, ||•||) に対して、X 上の距離 d を d(x, y) := ||x − y|| によって定めることができる。これを、ノルム ||•|| によって誘導された距離という。 逆に、ベクトル空間 X 上に距離 d が定義されて、以下の条件 d(x, y) = d(x + a, y + a) （平行移動不変性） d(αx, αy) = |α|d(x, y) （同次性） が満たされるとき、X 上のノルムが ||x|| := d(x, 0) と置くことによって定まる。 同様に、半ノルムは擬距離を定め、平行移動不変かつ同次の擬距離は半ノルムを誘導する。
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