ノルムから位相を入れた場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/13 08:36 UTC 版)
「コンパクト空間」の記事における「ノルムから位相を入れた場合」の解説
ノルムから位相を入れたベクトル空間（ノルム空間）に対してはリースの補題から直接的に次の事実が従う： 命題 ― R {\displaystyle \mathbb {R} } もしくは C {\displaystyle \mathbb {C} } 上のノルム空間Vの閉単位球がコンパクトである必要十分条件はVが有限次元である事である。 この定理を具体例を通して説明すると、例えばℓ2空間 ℓ 2 = { x = ( x n ) n ∈ N ∣ ∑ n x n 2 < ∞ } {\displaystyle \ell ^{2}=\{x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mid \sum _{n}x_{n}{}^{2}<\infty \}} にℓ2ノルム ‖ x ‖ = ( ∑ n ∈ N x n 2 ) 1 2 {\displaystyle \|x\|=\left(\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}{}^{2}\right)^{1 \over 2}} から定まる距離を入れた空間の閉単位球 B = { x ∈ ℓ 2 ∣ ‖ x ‖ ≤ 1 } {\displaystyle B=\{x\in \ell ^{2}\mid \|x\|\leq 1\}} はコンパクトではない。 実際、 e n = ( δ n , k ) k ∈ N {\displaystyle \mathbb {e} _{n}=(\delta _{n,k})_{k\in \mathbb {N} }} とすると（ここでδn,kはクロネッカーのデルタ）、 ‖ e n − e m ‖ = 2 {\displaystyle \|\mathbb {e} _{n}-\mathbb {e} _{m}\|={\sqrt {2}}} for n≠m であるので、 ( e n ) n ∈ N ⊂ B {\displaystyle (\mathbb {e} _{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset B} のいかなる部分列 ( e n i ) i ∈ N {\displaystyle (\mathbb {e} _{n_{i}})_{i\in \mathbb {N} }} もコーシー列の条件 lim i , j → ∞ ‖ e n i − e n j ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{i,j\to \infty }\|\mathbb {e} _{n_{i}}-\mathbb {e} _{n_{j}}\|=0} を満たしえず、したがって ( e n ) n ∈ N ⊂ B {\displaystyle (\mathbb {e} _{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset B} は収束部分列を持たない為点列コンパクトではなく、よってコンパクトでもない。 ℓ2空間の閉単位球Bがコンパクトにならない原因は、Bは有界であっても全有界ではないからである。実際、 ‖ e n − e m ‖ = 2 {\displaystyle \|\mathbb {e} _{n}-\mathbb {e} _{m}\|={\sqrt {2}}} for n≠mであるので、 ε < 2 / 2 {\displaystyle \varepsilon <{\sqrt {2}}/2} を満たす正数εに対しては、各 e 1 , e 2 , … {\displaystyle \mathbb {e} _{1},\mathbb {e} _{2},\ldots } を覆うために一つずつε-球を用いる必要があるので、可算無限個のε-球が必要となり、全有界ではない。
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