ノルムの構成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/08 06:25 UTC 版)
二つのノルム空間 (X, ‖•‖X), (Y, ‖•‖Y) が与えられたとき、直積空間 X × Y には ‖ ( x , y ) ‖ := ‖ x ‖ X 2 + ‖ y ‖ Y 2 ( x ∈ X , y ∈ Y ) {\displaystyle \|(x,y)\|:={\sqrt {\|x\|_{X}^{2}+\|y\|_{Y}^{2}}}\quad (x\in X,\,y\in Y)} でノルムが定まる。 ノルム空間 (Z, ‖•‖Z) が与えられたとき、ベクトル空間 W と単射な線型作用素 f: W → Z に対して ‖ w ‖ := ‖ f ( w ) ‖ Z ( w ∈ W ) {\displaystyle \|w\|:=\|f(w)\|_{Z}\quad (w\in W)} は W のノルムとなる。 ベクトル空間 V が半ノルム p を持つとき、部分空間 V⊥ := {v ∈ V | p(v) = 0} による商空間 V∼ := V/V⊥ は、π: V → V∼ を自然な射影として ‖ π ( v ) ‖ := p ( v ) ( v ∈ V ) {\displaystyle \|\pi (v)\|:=p(v)(v\in V)} となるようなノルムを備える。
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