ノルムから定まる距離と位相
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)
「位相空間」の記事における「ノルムから定まる距離と位相」の解説
V上にノルム‖ ・ ‖が1つ与えられると、 d ( x , y ) = ‖ x − y ‖ {\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|} により、V上の距離が定まる。 このようにノルムから距離が定まり、距離から位相が定まるが、ノルムが「同値」であるとそこから定まる位相が同一になる事が知られている： 定義・定理 (ノルムの同値性と位相) ― Vを（実もしくは複素）ベクトル空間とし、 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} と ‖ ⋅ ‖ ′ {\displaystyle \|\cdot \|'} をV上定義された2つのノルムとする。 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} 、 ‖ ⋅ ‖ ′ {\displaystyle \|\cdot \|'} が ∃ C 1 , C 2 > 0 ∀ x ∈ V : C 1 ‖ x ‖ ′ ≤ ‖ x ‖ ≤ C 2 ‖ x ‖ ′ {\displaystyle \exists C_{1},C_{2}>0\forall x\in V~:~C_{1}\|x\|'\leq \|x\|\leq C_{2}\|x\|'} を満たすとき、 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} 、 ‖ ⋅ ‖ ′ {\displaystyle \|\cdot \|'} は同値なノルムであるという。 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} 、 ‖ ⋅ ‖ ′ {\displaystyle \|\cdot \|'} が同値であれば、これらのノルムが定める距離 d ( x , y ) = ‖ x − y ‖ {\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|} 、 d ′ ( x , y ) = ‖ x − y ‖ ′ {\displaystyle d'(x,y)=\|x-y\|'} は V上に同一の位相を定める。
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