ω-モデルとβ-モデル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/03 13:45 UTC 版)
「 ω {\displaystyle \omega \,} -モデル」の ω {\displaystyle \omega \,} は非負整数全体の集合を意味する。 その1階部分が1階ペアノ算術の標準モデルになっているような、2階算術の部分体系のモデルを ω {\displaystyle \omega \,} -モデルと呼ぶ。ただし、2階部分は非標準であっても良い。すなわち、 ω {\displaystyle \omega \,} -モデルは S ⊆ P ( ω ) {\displaystyle S\subseteq {\mathcal {P}}(\omega )\,} （ P ( ω ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega )\,} は ω {\displaystyle \omega \,} の部分集合全体のクラス）によって与えられる。数変数は ω {\displaystyle \omega \,} の元として解釈され、定数記号 0 , 1 {\displaystyle 0,1\,} や関数記号 + , × {\displaystyle +,\times \,} は標準的に解釈される。一方、集合変数は S {\displaystyle S\,} の元として解釈される。 S = P ( ω ) {\displaystyle S={\mathcal {P}}(\omega )\,} とする ω {\displaystyle \omega \,} -モデルを2階算術の標準モデルと呼ぶ。しかし、標準モデル以外にも ω {\displaystyle \omega \,} -モデルは存在する。たとえば、 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} は S {\displaystyle S\,} として計算可能な ω {\displaystyle \omega \,} の部分集合全体をとった ω {\displaystyle \omega \,} -モデルをもつ。 ω {\displaystyle \omega \,} -モデルであって、 Σ 1 1 {\displaystyle \Sigma _{1}^{1}\,} 文について、標準モデルと真偽が一致するものを β {\displaystyle \beta \,} -モデルと呼ぶ。 ACA 0 {\displaystyle {\mbox{ACA}}_{0}\,} において全ての β {\displaystyle \beta \,} -モデルが ATR 0 {\displaystyle {\mbox{ATR}}_{0}\,} のモデルであることが示せる。また、 ACA 0 {\displaystyle {\mbox{ACA}}_{0}\,} において、「任意の集合 X {\displaystyle X\,} について X {\displaystyle X\,} を含む β {\displaystyle \beta \,} モデルが存在する」は Π 1 1 -CA 0 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mbox{-CA}}_{0}\,} と同値である。 一般に、 ω {\displaystyle \omega \,} -モデルであって、 Σ n 1 {\displaystyle \Sigma _{n}^{1}\,} 文について、標準モデルと真偽が一致するものは β n {\displaystyle \beta _{n}\,} -モデルと呼ばれる。 また、Non- ω {\displaystyle \omega \,} -モデル（1階部分が標準ではないモデル）も、ある公理系が保存的拡大であることの証明にしばしば登場する。
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