σ-弱収束位相
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/06 07:59 UTC 版)
「フォン・ノイマン環」の記事における「σ-弱収束位相」の解説
Mをヒルベルト空間H上のフォン・ノイマン環とする。作用素の弱収束位相について連続な線型形式とは T → (T x, y) （x, y ∈ H）の形の線型形式たちの（有限項の）一次結合である。これらの線型形式たちが Mの双対M*の中で張る閉部分空間 M*は Mの前双対（predual）とよばれる。標準的なペアリングによって M は M* の双対空間と同一視される。この、M*とのペアリングによる M 上の弱収束位相はσ-弱収束位相（σ-weak topology）とよばれる。 M と N がフォン・ノイマン環のとき、M から N への *-準同型 f で作用素のσ-弱収束位相について連続であるようなものは正規（normal）な *-準同型ともいわれる。正規な*-準同型の像は作用素の弱収束位相でとじている。フォン・ノイマン環の間の *-準同型には正規でないものも存在する。とくに H が無限次元ヒルベルト空間のとき、B(H) の部分 C*-環 A が W*-環であったとしても、それが H 上のフォン・ノイマン環であるとは限らない。
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